全等三角形判定—角边角、角角边

三角形全等的条件 （三）

学习要求

1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．

2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．

课堂学习检测

一、填空题

1．（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即______）指的是______

___________________________________________________________________________；

（2）全等三角形判定方法4——“角角边” （即______）指的是______

___________________________________________________________________________．

图4－1

2．已知：如图4－1，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．

分析：∵PM＝PN，∴ 要证AM＝BN，只要证PA＝______，

只要证______≌______．

证明：在△______与△______中，

______ ______( ______ ______(),

______ ______( ), ),

∴ △______≌△______ （ ）．

∴PA＝______ （ ）．

∵PM＝PN （ ），

∴PM－______＝PN－______，即AM＝______．

3．已知：如图4－2，ACBD．求证：OA＝OB，OC＝OD．

分析：要证OA＝OB，OC＝OD，只要证______≌______．

证明：∵ AC∥BD，∴ ∠C＝______．

在△______与△______中，

AOC ______( C ______(),

______ ______( ), ),

∴______≌______ （ ）．

∴ OA＝OB，OC＝OD （ ）．

图4－2

二、选择题

4．能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ）

A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E

B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E

C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D

D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E

5．如图4－3，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）

图4－3

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙

6．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（ ）

A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF

三、解答题

7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．

答：△AOD≌△COB．

证明：在△AOD和△COB中，

图4－4

A C(已知), OA OB(已知),

AOD COB(对顶角相等),

∴ △AOD≌△COB （ASA）．

问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？

综合、应用、诊断

8．已知：如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．

求证：AD＝AC．

图4－5

9．已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ． 求证：HN＝PM

.

图4－6

10．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE

＝4．求BM、CF的长．

拓展、探究、思考

11．填空题

（1）已知：如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需

证明Δ______≌△______，理由为______．

（2）已知：如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,

证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．

图4－7 图4－8

12．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．

（1）请证明AD＝A'D'；

（2）把上述结论用文字叙述出来；

（3）你还能得出其他类似的结论吗？

图4－9

13．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点

分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．

图4－10

（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直

线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．

①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

图4－11