数学分析选讲刘三阳 部分习题解答(11)

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

111

,yn n xn aaa12n

3 设lim xn xn 2 0,求lim

n

xnnxnn

n

,lim

xn xn 1

nxn 1n 1

n

解：令A lim

xnn

n

,则2A=lim

n

lim

n

=lim xn xn 1 lim xn 1 xn 2

n

n

=lim xn 1 xn 2 0，故A 0

n

类似的可考虑对lim

1q

xn 1n

n

,利用stolz公式可得lim

xn xn 1

n

n

0

4 设0 x1

，其中0 q 1，并且xn 1 xn 1 qxn ，证明limxn

n

1q

证明：可以验证xn为单调递减，且极限为0的数列故

n n 1 1xn

1xn 1

1xn

，由stolz公式可得原

式=lim

n

=lim

xnxn 1xn 1 xn

n

lim

xn 1 1 qxn 1 xn 1xn 1 xn 1 1 qxn 1

n

=lim

1q

n

1 qxn 1

1q

5 设x1 0,xn 1 ln 1 xn n1,2, ，证明=limxn 2

n

可证明xn 0，利用x 0,ln 1 x x

n n 1 1xn

1xn 1

xn xn 1yn yn 1

limnxn lim

n

n

lim

xn 1ln 1 xn 1 xn 1 ln 1 xn 1

n

lim

xln 1 x x ln 1 x

x 0

2（洛必达法则）

6 证明设 xn ， yn 都是无穷小，且 yn 严格减小，如果lim

n

（a为 a，

有限数，或 , ），则lim

n

xnyn

a。

证明：当a为常数时， 0, N，当n N时，有a

xn xn 1yn yn 1

a

即 a yn yn 1 xn xn 1 a yn yn 1 a yn yn p xn xn p a yn yn p 令p ，得 a yn xn a yn