安徽省2013年高二优质数学《空间向量的标准正交分解与坐标表示、空间向量基

理解 教材新知 § 3 第 二 章 3.1 & 3.2

知识点一知识点二 考点一

把握 热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

3.1 & 3.2

空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理

学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李

得知：面试地点由此向东10米，后向南15米，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试.设e1是向东的单位向 量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量. 问题1:e1,e2,e3有什么关系？ 提示：两两垂直. 问题2:假定每层楼高为3米，请把面试地点用向量p表示. 提示：p=10e1+15e2+15e3.

标准正交基与向量坐标(1)标准正交基： 在给定的空间直角坐标系中，x轴， y轴，z轴正方向的 单位向量 i,j,k叫 做标准正交基.

(2)标准正交分解：设i,j,k为标准正交基，对空间任意向量a,存在唯一一 组三元有序实数(x,y,z),使得a= xi+yj+zk ,叫做a的标 准正交分解.

(3)向量的坐标表示： (x,y,z) 在a的标准正交分解中三元有序实数 叫做空 (x,y,z) 间向量a的坐标，a= 叫作向量a的坐标表示.

(4)向量坐标与投影：①i,j,k为标准正交基，a=xi+yj+zk,那么：a· i = x ,a· y ,a· z .把x,y,z分别称为向量a在x轴，y j= k= 轴，z轴正方向上的投影. ②向量的坐标等于它在 坐标轴正方向 上的投影. ③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·0= |a|cos〈a,b〉 b 为向量a在向量b上的投影.

空间中任给三个向量a,b,c. 问题1:什么情况下，向量a,b,c可以作为一个基底？ 提示：它们不共面时. 问题2:若a,b,c是基底，则空间任一向量v都可以由a, b,c表示吗？ 提示：可以.

如果向量e1、e2、e3是空间三个 不共面 的向量，a是

空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3使得a= λ1e1+λ2e2+λ3e3 .其中e1、e2、e3叫作这个空间的一个 基底 . a=λ1e1+λ2e2+λ3e3 表示向量a关于基底e1,e2,e3 的分解.

空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知 向量a,b,c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是 不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向 量的基底.

[例 1] AA′=6.

如图，在空间直角坐标系中，有长

方体 ABCD-A′B′C′D′,AB=3,BC=4, (1)写出 C′的坐标，给出 AC 关于 i,j,k

的分解式； (2)求 BD 的坐标. [思路点拨]

(1)C′的坐标(也是 AC 的坐标),即为 C′在 x

轴、y 轴、z 轴正方向上的投影，即|OD|,|OB||OA′|. (2)写出 BD 关于 i,j,k 的分解式，即可求得 BD 的坐标.

[精解详析]

(1)∵AB=3,BC=4,AA′=6,

∴C

′的坐标为(4,3,6). ∴ AC =(4,3,6)=4i+3j+6k. (2) BD = AD - AB . ∵ AD = AD + AA =4i+6k, ∴ BD = AD -=- AB + AD + AA =4i-3j+6k, ∴ BD =(4,-3,6).

[一点通] (1)建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐 标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂 直的直线，并分别为x,y,z轴进行建系.

(2)若表示向量 AB 的坐标，只要写出向量 AB 关于i,j,k的标准正 交分解式，即可得坐标.

1.在如图所示的空间直角坐标系中， 正方体 1 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,B1E1= 4 A1B1,则 DE1 的坐标为________.

解析：显然 D 为原点，设 E1(x,y,z),

3 3 易知 x=1,y= ,z=1,∴ DE1 =(1, ,1). 4 4 3 答案：(1, ,1) 4

2. 已知点 A 的坐标是(1,2, -1), 且向量 OC 与向量OA 关 于坐标平面 xOy 对称，向量与向量 OA 关于 x 轴对称， 求向量 OC 和向量的坐标.