第四章 环境规划与管理的数学基础

第四章环境规划与管理的数学基础第一节第二节第三节第四节环境数据处理方法最优化分析方法常用决策分析方法环境数学模型

第一节环境数据处理方法一、数据的表示方法列表法将数据列成表格，将数据列成表格，将各变量的数值依照一定的形式和顺序一一对应起来，依照一定的形式和顺序一一对应起来，它通常是整理数据的第一步，能为标绘曲线图或它通常是整理数据的第一步，整理成数学公式打下基础。整理成数学公式打下基础。

图示法插值法计算数值

将数据用图形表示出来，将数据用图形表示出来，它能用更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来,更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来,可以直观地看出数据变化的特征和规律,可以直观地看出数据变化的特征和规律,为后一步数学模型的建立提供依据。为后一步数学模型的建立提供依据

1、列表法例：研究电阻的阻值与温度的关系时，测试结果如下：测量序号 1 2 3 4 5 6温度t/℃温度t/℃ t/ 10. 10.5 29. 29.4 42. 42.7 60. 60.0 75. 75.0 91. 91.0电阻R/Ω电阻R/Ω R/ 10. 10.42 10. 10.92 11. 11.32 11. 11.80 12. 12.24 12. 12.67

2、图示法图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量y图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量y与自变量x相对应的y数据表格。与自变量x相对应的yi与xi数据表格。作曲线图时必须依据一定的法则，作曲线图时必须依据一定的法则，只有遵守这些法则，法则，才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的曲线图形。曲线图形。坐标纸的选择--常用的坐标系为直角坐标系， --常用的坐标系为直角坐标系坐标纸的选择--常用的坐标系为直角坐标系，包括笛卡尔坐标系(又称普通直角坐标系)、 )、半对括笛卡尔坐标系(又称普通直角坐标系)、半对数坐标系和对数坐标系。数坐标系和对数坐标系。

2、图示法对数坐标系两个轴(x y)都是对数标度的坐标轴 (x和都是对数标度的坐标轴，两个轴(x和y)都是对数标度的坐标轴，即每个轴的标度都是按上面所述的原则作成的

半对数坐标系 一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是分度不均匀的对数坐标轴。 右图中的横坐标轴(x轴)是对数坐标。在此轴上，某点与原点的实际距离为该点对应数的对数值，但是在该点标出的值是真数。为了说明作图的原理，作一条平行于横坐标轴的对数数值线。半对数坐标的标度法

3、插值法计算数值(1)作图插值法例：用分光光度计法测定溶液中铁的含量,测得标准曲线数据如下：用分光光度计

法测定溶液中铁的含量,测得标准曲线数据如下： g/mL) Fe (μg/mL)吸光度(吸光度(A) 2 0.097 4 0.200工作曲线 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 y= 0.0516x - 0.0061 R2= 1

6 0.304

8 0.408

10 0.510

12 0.613

测得未知液的吸光度为0.413,试求未知液中铁的含量。测得未知液的吸光度为0.413,试求未知液中铁的含量。 0.413

吸光度(A)

2

4

6 8 10 Fe的浓度(μg/mL)

12

14

在图的纵坐标上0.413处找到直线上对应点，在图的纵坐标上0.413处找到直线上对应点，读出其对应的横坐标即 0.413处找到直线上对应点为未知液中铁的含量 8.122

(2)比例法

yb ya= xb xa所以 yc=

yb yc xb xc

yb ( xb xa ) ( yb ya )( xb xc ) xb xa

此式即为比例法内插公式，从图上可看出，因为用yc代替了yd,产生了

y= yd yc的误差。

(3)牛顿内插公式一般的非线性函数都可以展开为多项式

y= a0+ a1 x+ a2 x 2+ + an x n 3例：制作 y= 2+ x+ x

的查分表。的查分表。

表中△表示y的依次差值，表示y的差值的差值，表中△y表示y的依次差值，△y2表示y的差值的差值，以此类推。以此类推。

在上面的例子中，的差值为1实际上x在上面的例子中，x的差值为1,实际上x的差值可以为任意恒量，令此恒量为h做出差分表的通式。意恒量，令此恒量为h,做出差分表的通式。

(二)数据特征数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础，数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础，是认识数据理论特性的基本出发点，通常可分为以下三类：识数据理论特性的基本出发点，通常可分为以下三类：位置特征数:位置特征数:表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位置的特征数；置的特征数；离散特征数:用来描述数据分散程度；离散特征数:用来描述数据分散程度；分布形态特征数:分布形态特征数:刻划了根据所获数据绘制的分布曲线图的形态。的形态。

1.位置特征数 (1)算术平均数：算术平均数：

x1+ x 2+ + x n= x= n

∑

n

xi

i=1

n

式中：式中：x1, x2,…, xn为样本个体数据，n为样本个数,为样本个体数据，

(2)加权平均数如果样本个体数据x如果样本个体数据x1, x2,…, xn取值因频数,不同或对总体重要性有所差别，不同或对总体重要性有所差别，则常采取加权平均方 n法。∑ wi xi w1 x1+ w 2 x 2+ + w n x n xw== i=1n w1+ w 2+ + w n∑ wii=1

式中：是个体数据出现频数，式中：wi是个体数据出现频数，或是因该个体对样本贡献不同而取的不同的数值。贡献不同而取的不同的数值。

1.位置特征数 (3)几何平均数

xG= n x1 x2 xn= ( x1 x2 xn )(4)调和

平均数 n H== 1 1 1++ + x1 x2 xn

1 n

n

∑

n

i=1

1 xi

1.位置特征数 (5)中位数环境数据有时显得比较分散，环境数据有时显得比较分散，甚至个别的数据离群偏远，难以判断去留，这时往往用到中位数。偏远，难以判断去留，这时往往用到中位数。样本数据依次排列(从大到小或者从小到大)样本数据依次排列(从大到小或者从小到大)居中间位置的数即为中位数，若数据个数为偶数，则中间位置的数即为中位数，若数据个数为偶数，位数为正中两个数的平均值。位数为正中两个数的平均值。只有当数据的分布呈正态分布时，只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表这组数据的中心趋向，近似于真值。组数据的中心趋向，近似于真值。

1.位置特征数

环境统计中常常用到几何平均数。环境统计中常常用到几何平均数。不同的平均值都有各自适用场合，不同的平均值都有各自适用场合，选择的平均数指标应能反映数据典型水平，并非随意采用。应能反映数据典型水平，并非随意采用。d g= ( d1n1 d 2 n2 d 3n3 ...)1/ N或

几何平均直径dg

∑ n ln d= exp(i

pi

N

)

2.离散特征数