勾股定理在旋转中的运用(2)

勾股定理在旋转中的运用

勾股定理在旋转中的运用

例1、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。

A

BPC

练习：如图：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则 APB的度数是________. A

3

P

例2 . 如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求此正方形ABCD面积。D

PC+5

AB

练习1：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数。．

勾股定理在旋转中的运用

练习2：

请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°，进而求出等边△ABC的边长为 ，问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

解：（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，

则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=

∵BP=BP′=

2 ；连接PP′，在Rt△BP′P中， ，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°；在△AP′P中，AP′+PP′2=AP2；∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，

∴∠AP′B=135°，∴∠BPC=∠AP′B=135°．

（2）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；∴∠EP′B=45°， ∴EP′=BE=1，∴AE=2；∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=

∴∠BPC=135°，正方形边长为． ；

勾股定理在旋转中的运用

例3．如图（4-1），在ΔABC中， ACB =90，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求 BPC

的度数。 0

C

A

练习1. 如图，在Rt△ABC 中，AB AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADCB

绕点A顺时针旋转90 后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE≌△ACD；③BE DC DE；④BE2 DC2 DE2其中正确的是

（ ） A．②④； B．①④； C．②③； D．①③

C F B D E

练习2：.阅读下面材料，并解决问题：

(1)、如图(10)，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．

(2)、请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F

222为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF=BE+FC ．