21_3 格林公式·曲线积分与路线的无关性

§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.

一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性前页 后页 返回

一、格林公式设区域 D 的边界 L 是由 一条或几条光滑曲线所 组成.边界曲线的正方向 规定为:当人沿边界行走L

D

时,区域 D 总在它的左边,

图 21 12

如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .前页 后页 返回

定理21.11 若函数

P ( x , y ), Q ( x , y)

在闭区域 D上

有连续的一阶偏导数, 则有 Q P x y d D

Pdx Qdy ,L

(1)

这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.公式(1)称为格林公式. 证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形 作出证明: (i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域(图21-13), 则可表为前页 后页 返回

1( x ) y 2( x ), a x b,

又可表为 1( y) x 2( y), y .

y E

2(x)

B

这里

y 1( x ) 和 y 2 ( x )

分

A

DC

别为曲线 程, 而

CB A

和

EB A

的方 则

1( x)

O

a

b x

x 1( y)和x 2( y)

图 21-13

分别是曲线

CAE

和 C B E 的方程. 于是

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D

Q x

d

dy

2( y)

Q x

1( y)

dx

Q ( 2 ( y ) , y ) d y Q ( x , y)dy Q ( x , y)dy

Q ( 1 ( y ) , y ) d y

CBE

CAE

Q ( x , y)dy

CBE

A C E

Q ( x , y)dy

Q ( x , y)dy .L

同理又可证得前页 后页 返回

D

P y

d

P ( x , y)dx .L

将上述两个结果相加即得 Q P x y d D

Pdx Qdy .L

(ii) 若区域 D 是由一条按段光滑的闭曲线围成, 且可用几段光滑曲线将D1

L2L3D2

D3

L1

D 分成有限个既是 x 型

图 21 14

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又是 y 型的子区域 (如图21-14), 则可逐块按 (i) 得到 它们的格林公式, 然后相加即可. 如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x 型又是 y 型的区域D 1 , D 2 , D 3 . 于是

Q P x y d D Q P d x y D1 Q P x y d D2 Q P x y d D3

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Pdx Qdy L1

Pdx Qdy L2

Pdx QdyL3

Pdx Qdy .L

(iii) 若区域 D 由几条闭曲线 所围成, 如图

21-15 所示. 这 时可适当添加线段AB, CE ,

G

L3

E

C

DL2

FL1

B A

把区域化为 (ii) 的情形来处 理. 在图21-15中添加了 A B ,CE

图 21 15

后, D 的边界则由

A B , L2 , B A , F C , C E , L3 , E C A

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及 C G A 构成. 由(ii)知

Q P x y d D

AB

L2

BA

AFC

CE

L3

EC

CGA

( Pdx Qdy)

L2

L3

L1

( Pdx Qdy)

Pdx Qdy .L

注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是x

型又是

y

型区域的并集, 例如由前页 后页 返回

y x sin

3

1 x

, x ( 0 , 1]; y 1; x 0; x 1

所围成的区域便是如此.

注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式: y Q

D

x P

d

Pdx Qdy .L

注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.

请看以下二例:前页 后页 返回

例1 计算 B A

x dy ,

A 其中曲线 B 是半径为 r 的圆在yA

第一象限部分 (图21-16). 解 对半径为 r 的四分之一圆域 D, 应用格林公式: d D

DO

L

x dyLB

x

x dy OA

B A

x dy

x dy .BO

图 21 16

由于 O A x d y

0, B A

x dy 0 ,BO

因此1 4 πr .2

x d y d D

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例2 计算

I

xd y yd xL

x y2

2

,

其中 L 为任一不包含原

点的闭区域的边界线. 解 因为 x y x , 2 2 2 2 2 x x y ( x y )2 2

y y x , 2 2 2 2 2 y x y ( x y )2 2

它们在上述区域 D 上连续且相等, 于是前页 后页 返回

D

x y d 0 , 2 2 2 2 x x y y x y

所以由格林公式立即可得I 0.

在格林公式中, 令 P

y, Q x,

则得到一个计算平

面区域 D 的面积 SD 的公式:SD

d D

1 2

x dy y dx .L

(2)

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例3 计算抛物线

( x y ) ax (a 0)2

与 x 轴所围图

形的面积 (图21-17). 解 曲线 M O 由函数 A

yM

O

N

A(a , 0)

x

y

ax x , x [0 , a ]

图 21 17

表示,

ONA

为直线

y 0,

于是

SD

1

x dy 21

y dx1

O N A x d y 2

y dx

M O x d y 2 A

y dx

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1

M O x d y 2 A1 21 2