空间点、直线、平面之间的位置关系 教案

学习过程

一、复习预习

1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示

D

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）

A

B

C

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 3 三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为

A∈L

B∈L => L α A∈α B∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

L（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

· C ·

·

A B

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

二、知识讲解

考点/易错点1 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b c∥b

=>a∥c

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0)；

2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

考点/易错点2 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

三、例题精析

【例题1】

【题干】直线a，b,c及平面 ， ，使a//b成立的条件是（ ）

A．a// ,b B．a//,b// C．a//c,b//c D．a// ,

【答案】C

b

【解析】a// ,b ,则a//b或a,b异面；所以A错误；a// ,b// ,则a//b或a,b异面

a// , 或a,b相交，所以B错误； b,则a//b或a,b异面，a//c,b//c，所以D错误；

则a//b，这是公理4，所以C正确.

【例题2】

【题干】如图，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长是2，侧棱长

A1

是

3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD.

【解析】证明：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，

D为AC中点， PD//B1C.

又 PD 平面A1BD， B1C//平面A1BD

【例题3】

【题干】如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，DD1，

DC中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 时，有MN∥平面B1BD D1．

【答案】M HF

【解析】易证平面NHF∥平面BD D1 B1，M为两平面的公共点，

P

应在交线HF上.

FA

B

E

C

【例题4】

【题干】如图，在正四棱锥P ABCD中，PA AB a,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.

P

E

C

A

B

【解析】当E为PC中点时，PA//平面EBD． 证明：连接AC，且AC

BD O，由于四边形ABCD为正方形，

∴O为AC的中点，又E为中点，∴OE为△ACP的中位线， ∴PA//EO，又PA 平面EBD，∴PA//平面EBD.

四、课堂运用

【基础】

1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2.E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G

的截面平行的棱的条数是 A．0 B．1 C．2 D．3

3、若直线m不平行于平面 ，且m ，则下列结论成立的是（ ）

A． 内的所有直线与m异面 B． 内不存在与m平行的直线 C． 内存在唯一的直线与m平行 D． 内的直线与m都相交

4、下列命题中，假命题的个数是（ ）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面

外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与 平行

A．4

B．3 C．2

D．1

5、已知空间四边形ABCD中，M,N分别是AB,CD的中点，则下列判断正确的是（ ）

A．MN 1 AC BC B．MN 1 AC BC

2

2

C．MN 1 AC BC D．MN 1 AC BC

2

2

【巩固】

1. ，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定 ∥β的是（ ）

A． ，β都平行于直线a，b

B． 内有三个不共线点到β的距离相等 C．a，b是 内两条直线，且a∥β，b∥β

D．a，b是两条异面直线且a∥ ，b∥ ，a∥β，b∥β

2.两条直线a，b满足a∥b，b

，则a与平面 的关系是（ ）

C．a与 不相交

D．a

A．a∥ B．a与 相交

3、设a,b表示直线， , 表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（ ）

A．a ，则a// B．a// ，b ，则a//b

C． // ,a ,b ，则a//b D．P a,P ,a// , // ，则a

4、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）

A.异面

B.相交

C.平行

D.不能确定

5、下列四个命题中，正确的是（ ）

①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A．①③ 成立的是

A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过A至少有一个平面平行于a，b C．过A有无数个平面平行于a，b D．过A且平行a，b的平面可能不存在

B．①② C．②③

D．③④

6.a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论

【拔高】

1.平面内两正方形ABCD与ABEF，点M，N分别在对角线AC,FB上，且AM:MC=FN:NB，

沿AB折起，使得∠DAF=900 (1)证明：折叠后MN//平面CBE；

（2）若AM:MC=2：3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE?若存在，试确定点G的位置.

课程小结

1、空间中直线与直线之间的位置关系

2、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

课后作业

【基础】

1.在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四

面体的四个面中与MN平行的是________.

2.如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的

中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是 ．

4、如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点， 求证：（1）MN//B1D1 ；（2）AC1//平面EB1D1 ；（3）平面EB1D1//平面BDG.

【巩固】

1.a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给

出六个命题：

a∥c a∥ ∥c

① a∥b;

② a∥b;③ ∥ ;b∥c b∥ ∥c ∥c ∥ ∥ ④ a∥ ;⑤ ∥ ⑥ a∥ a∥c ∥ a∥

其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）

2.设平面 ∥β，A，C∈ ，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，

则CS=_____________.

3、如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M，N分别为

AB，PD上的点，且

AMDN

=，求证：直线MN∥平面PBC. MBNP

【拔高】

1.设平面 ∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A，C

∈ ，B，D∈β，求证：MN∥平面 .

课后评价