北师大版八年级下册数学1.2《直角三角形》课件(共2课时)

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1.2 直角三角形(1) 勾股定理与它的逆定理的证明

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复习回顾曾经探索过的直角三角形的哪些性质和判定方法？直角三角形的性质 1.在直角三角形中，两锐角互余. 2.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角 边等于斜边的一半. 4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角 边所对的角等于30° .

直角三角形的判定 1.有一个角等于90° 的三角形是直角三角形. 2.有两个角互余的三角形是直角三角形.

3.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

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智慧

勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c, 那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥 拉斯定理(pythagoras theorem).驶向胜利 的彼岸

ab

c

勾

弦

股

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我能行

1 方法一:

勾股定理的证明拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法 方法七：拼图计算

这些证法你还能记得多少? 你最喜欢哪种证法?

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回顾反思 1

总统证法

这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A.

Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积 公式。 图中三个三角形面积的和是 2×ab/2+c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2; c b c a 比较可得:c2 = a2+b2 。 a b 伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话, 后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、 简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法 称为“总统”证法。 . 勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！驶向胜利 的彼岸

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2

勾股定理的逆定理

如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这

个三角形是直角三角形. 已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形.

B a C c

b (1)

A驶向胜利 的彼岸

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2

逆定理的证明B c b (1) c b (2) A

已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形. 证明:作Rt

△A′B′C′使∠C′ a =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则 A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理). C ∵AC2+BC2=AB2(已知), B′ A′C′=AC,B′C′=BC(作图), ∴ AB2=A′B′2(等式性质). a ∴ AB=A′B′(等式性质). ∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS). ∴ ∠A=∠A′= 900(全等三角形

C′

A′

的对应边). ∴ △ABC是直角三角形(直角三 角形意义).

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回顾反思 1

几何的三种语言B a C

勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于

第三边平方, 那么这个三角形是 直角三角形.

cb (1) A

′

在△ABC中 ∵AC2+BC2=AB2(已知),

∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和

等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).

这是判定直角三角形的根据之一.驶向胜利 的彼岸

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智慧

命题与逆命题

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形 观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流. 再观察下面三组命题:

如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角; 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; 三角形中相等的边所对的角相等, 三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关 系吗?与同伴进行交流.驶向胜利 的彼岸

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命题与逆命题

在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆 命题. 你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的 平方相等”的逆命题吗? 它们都是真命题吗?

想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?驶向胜利 的彼岸

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定理与逆定理

一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.

我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 你还能举出一些例子吗?

想一想:

互逆命题与互逆定理有何关系?

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隋堂练习 1

蓄势待发

说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假: 四边形是多边形; 两直线平行,同旁内角互补; 如果ab=0,那么a=0,b=0.′

请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断 这些逆命题的真假. 老师提示: 你是否能将有关命题的知识予以整理.

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读一读

1

学无止境

P16《读一读》:

勾股定理的证明. 勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有四百多

种说明！ 古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有 数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽 (中)、梅文鼎(中)、欧几里德(希腊)、辛卜松 (英)、加菲尔德(美第二十届总统)等等。其证明方 法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的.驶向胜利 的彼岸

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读一读

1

学无止境

P16《读一读》:

勾股定理

的证明.

历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代

亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱 写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等

待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大 贡献。驶向胜利 的彼岸

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读一读

1

学无止境

P16《读一读》:

勾股定理的证明. 学习永远是件快乐而有趣的事！ 勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！

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试一试

2

梦想成真

1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中 间离地板1英尺的B处. 试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?●

B●

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