7.2多元时间序列的分析方法与应用

二、多元时间序列 的分析方法及应用暨南大学 金融系 谭政勋

多元时间序列的分析方法及应用学习内容协整 误差修正模型( 误差修正模型(ECM) ) 格兰杰因果检验( 格兰杰因果检验(Granger Causality Test) )

(一) 协整的含义一些准备如何研究两个随机过程之间的关系？ 如何研究两个随机过程之间的关系？ 如果非平稳虚假回归问题 做差分，如果差分平稳， 做差分，如果差分平稳，则研究增量之间的关系

如果平稳直接使用OLS方法 方法 直接使用

现实世界中的协整关系交谊舞 GNP与消费 与消费3

什么是协整？ 什么是协整？两个随机过程之间存在的一种长期均衡关系(比例关系)。 两个随机过程之间存在的一种长期均衡关系(比例关系)。 长期均衡关系

长期均衡经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系， 经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系， 这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制， 这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制， 如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点， 如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡 机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。 机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。 假设X与 间的长期 均衡关系” 间的长期“ 假设 与Y间的长期“均衡关系”由式描述

长期均衡长期均衡是一种状态。 长期均衡是一种

假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述

Yt = α 0 + α1 X t + µt

式中:µt是随机扰动项。 该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡 该均衡关系意味着 值也随之确定为 α0+α1X。5

期末， 在t-1期末，存在下述三种情形之一： 期末 存在下述三种情形之一： (1)Y等于它的均衡值：Yt-1= α0+α1Xt-1 ; (2)Y小于它的均衡值：Yt-1< α0+α1Xt-1 ; (3)Y大于它的均衡值：Yt-1> α0+α1Xt-1 ; 在时期t,假设X有一个变化量 Xt ,如果变量X与Y在 时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应 变化量由式给出:

Yt = α1 X t + vt式中，vt=µt-µt-1。

实际情况往往并非如此如果t-1期末，发生了上述第二种情况， 如果 期末，发生了上述第二种情况， 即 Y的值小于 期末 的值小于 其均衡值， 的变化往往会比第一种情形下Y的变化 其均衡值 ， 则 Y的变化往往会比第一种情形下 的变化 的变化往往会比第一种情形下 大一些； Yt大一些； 反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小 反之，如果 的值大于其均衡值， 的变化往往会小 的值大于其均衡值 于第一种情形下的 于第一

种情形下的 Yt 。 可见，如果Yt=α0+α1Xt+µt 正确地提示了X与Y间的长 α 期稳定的“均衡关系”,则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。 因此， 因此 ， 一个重要的假设就是:随机扰动项µ t 必须是平 稳序列。 显然，如果µ 有随机性趋势(上升或下降) 显然，如果 t有随机性趋势(上升或下降),则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除。 消除。7

式Yt=α0+α1Xt+µt中的随机扰动项也被称为非均衡误差 中的随机扰动项也被称为非均衡误差 (disequilibrium error),它是变量X与Y的一个线性组合： error) 它是变量X 的一个线性组合：µt = Yt α 0 α1 X t

(*)

因此，如果Yt=α0+α1Xt+µt式所示的X与Y间的长期均 衡关系正确的话，(*)式表述的非均衡误差应是一平稳时 间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 从这里已看到，非稳定的时间序列， 从这里已看到 非稳定的时间序列，它们的线性组合也可 非稳定的时间序列 能成为平稳的。 能成为平稳的。 例如： 例如 ： 假设 Yt=α0+α1Xt+µt 式中的X与Y是I(1)序列，如果 该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由 非均衡误差(*)式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称 称 变量X与Y是协整的(cointegrated)。 变量 与 是协整的( ) 是协整的8

协整的数学定义如果序列X 如果序列X1t,X2t,…,Xkt都是d阶单整，存在向量 都是d阶单整， α=(α1,α2,…,αk),使得 =(α …,α Zt= αTXt ~ I(d-b) I(d其中，b>0, 其中，b>0,Xt=(X1t,X2t,…,Xkt)T, α =(α 1, α 2,…, α k)T =(α 则认为序列X 则认为序列X1t,X2t,…,Xkt是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b),α (d,b)阶协整 记为X ~CI(d,b), 阶协整， 协整向量(cointegrated vector) 为协整向量(cointegrated vector)。 注意:如果两个变量都是单整变量， 注意 如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相 如果两个变量都是单整变量 同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同， 同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能 协整。 协整。9

(二) 协整检验与误差修正模型格兰杰表示定理如果两个变量之间是协整的， 如果两个变量之间是协整的，那么一定可以用误差校正模 型来表示。 型来表示。

两个时间序列数据关系研究的一般过程协整检验如果存在协整关系： 来研究短期和长期均衡关系。 如果存在协整关系：用ECM来研究短期和长期均衡关系。 来研究短期和长期均衡关系计量技术： 两步法、 计量技术：E-G两步法、ECM模型 两步法 模型

如果不存在协整关

系： 因果检验， 如果不存在协整关系：用Granger因果检验，研究“因果” 因果检验 研究“因果” 关系。 关系。计量技术： Granger因果检验 计量技术： 因果检验10

2.1 E-G两步法 EE-G两步法之前的准备{Yt}和{Xt}两个时间序列 和 两个时间序列 通过单位根检验确定两个时间序列单整的阶数。 通过单位根检验确定两个时间序列单整的阶数。

只有单整阶数相同时，才可能存在协整关系。 只有单整阶数相同时，才可能存在协整关系。

两变量的Engle Granger检验 两变量的Engle-Granger检验 Engle为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年 提出两步检验法，也称为EG检验。 第一步，用OLS方法估计方程 Yt=α0+α1Xt+µt,并计算非均 第一步， 衡误差，得到： Yt = α 0 + α1 X t e = Y Yt t t

称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。 第二步，用DF或ADF,检验 e t 的平稳性。分别称为EG检验， 第二步 和AEG检验。

$ 的单整性的检验方法仍然是DF检验或者 et 的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。 检验或者ADF检验 检验。由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需再用截距项。 如使用模型(ADF) 如使用模型(ADF)

et = δ et 1 + ∑θ i et i + ε t

p

进行检验时，拒绝零假设 0:δ=0,意味着误差项et是 拒绝零假设H 拒绝零假设 平稳序列，从而说明 与Y间是协整的 δ=0 对应ρ=1) 说明X与 间是协整的 间是协整的。( 说明 需要注意的问题 1. 这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误 $ 差项 et ,而非真正的非均衡误差µt进行的。 2.而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量δ δ 通常是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实 际情形大。于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该 于是对e DF与 于是对 平稳性检验的DF ADF临界值应该 比正常的DF ADF临界值还要小 DF与 临界值还要小。 比正常的DF与ADF临界值还要小。13

i =1

MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临 MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临 界值，下表是双变量情形下不同样本容量的临界值。 界值，下表是双变量情形下不同样本容量的临界值。

表 9.3.1

双变量协整 ADF 检验临界值 显 著 性 水 平

样本容量 25 50 100 ∝

0.01 -4.37 -4.12 -4.01 -3.90

0.05 -3.59 -3.46 -3.39 -3.33

0.10 -3.22 -3.13 -3.09 -3.05

2.2 误差修正模型(EMC) 误差修正模型(EMC)一些准备前面已经提到， 前面已经提到，对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳 定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。 如：建立人均消费水平(Y)与人均可支配收入(X)之间的回归模 建立人均消费水平(

)与人均可支配收入( ) 建立人均消费水平 型：

Yt = α 0 + α 1 X t + µ t如果Y与X 如果 具有共同的 向上或向下 的变化趋势 X,Y 成为 平稳 序列

差分

建立差分回归模型

式中， vt= µt- µt-1

Yt = α1 X t + vt15

这种做法会引起两个问题： 这种做法会引起两个问题： (1)如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系 如果X Yt=α0+α1Xt+µt 且误差项µ 不存在序列相关， 且误差项µt不存在序列相关，则差分式 Yt=α1 Xt+νt 中的ν 是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的； 中的νt是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的； (2)如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值的重要信 息将被忽略，这时模型只表达了 与Y间的短期关系，而没有 这时模型只表达了X与 间的短期关系 间的短期关系， 这时模型只表达了 揭示它们间的长期关系。 揭示它们间的长期关系 因为，从长期均衡的观点看，Y在第t期的变化不仅取决于X 本身的变化，还取决于X与Y在t-1期末的状态，尤其是X与Y 在t-1期的不平衡程度。16