哈工大工科数学分析期中考试题答案

1102002班春季学期工科数学分析期中考试模拟试题答案

1102002班工数期中模拟考试

一、填空题（共8分） 1、（1分）函数

的定义域是_ D＝{(x，y)：x2＋y2≠1，|y|≤|x|，x≠0}

解答：要使函数有意义，必须：，

即

2

2

因此，该函数的定义域是D＝{(x，y)：x＋y≠1，|y|≤|x|，x≠0}

x ucosv

2、 （1.5分）已知函数z z x,y 由参数方程: y usinv,给定，试求

z uv

z x

z

y=vcosv sinv vsinv cosv

解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. x,y是自变量,u,v是中间变量(u,v是x,y的函数), 先由z uv得到

z x z y

z u u x z u u y

z v v x z v v y

v v

u x u y

u u

v x v y

u u(x,y)

u,v是由方程 的x,y的隐函数，在这两个等式两端分别关于x,y求偏导数，得

v v(x,y)

0 cosv usinv 1 cosv usinv y y x x，

ucosv ucosv 1 sinv 0 sinv

y y x x

u v sinu u vcosv得到 cosv, , sinv,

x xu y xu

将这个结果代入前面的式子, 得到

z u

x

v

x

u

v x

vcosv sinv

与

z y

v

u y

u

v y

vsinv cosv

3x 2y z 522

3、（1分）曲面S:2x 2y 2z 1上切平面与直线L: 平行的切点的

x y z 0

2x 8y 5

轨迹方程为 2 2

2x 2y 2z 1

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x x

解: 直线L: y 4x 5的方向： 3 2 1 i 4j 5k.

z 5x 511

切点为P x,y,z 处曲面S的法向：n 4xi 4yj 2k.

所求轨迹：n n 4x 16y 10 0,

i

j

k

2x 8y 5

轨迹为空间曲线： 2 2

2x 2y 2z 1

4、（1分）I 解：

I

a

x y 1

x by dxdy a

xy1

x by dxdy

a b2

x

x y1

y dxdy 4

a b2

x y dxdy 4 a b

x y 1

x 0, y 0

x y 1x 0, y 0

xdxdy

5、（1分）设f(x，y)在点（0，0）附近有定义，且 ′ 0,0 =2， ′ 0,0 =3，则曲线 点（0，0，f(0，0)6、（1.5分）设f(t)连续，在t 0处可导，且f(0) 0，f (0) 3， lim

1t

3

2

= ( , )在

=0

t 0

22

f(x y)d 2

2

x y t

2

t tf(r) rdr d

2 f(r) rdr 0 2 f(t) t 0 0

lim lim解：原式 lim

233

t 0t 0t 03ttt

2 f(t)2 f(t) f(0)2 lim lim f (0) 2

t 0t 03t3t 037、（1分）设F=y′′+by′+cy，若已知F=0有两个线性无关的解 1= 2 , 2= 2 ，设f x = 2 2 ，写出F（x）=f（x）的通解形式（不用待定系数算出具体值）

2

2 2 2 22

二、选择题（每题1分，共5分） 1、设DI3

由

14

2

x y

2

22

1确定，若I1

D

1x y

2

2

d ，I2

D

(x y)d ，

22

ln(x

D

y)d ，则I1，I2，I3之间的大小顺序为（D）

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A．I1 I2 I3 B．I1 I3 I2 C．I2 I3 I1 D．I3 I2 I1 2、在极坐标系下，与累次积分 dx

10

1 x

2

1 x

2

f(x,y)dy相等的是（D）

3

1

A． d f(rcos ,rsin )rdr B． 2d f(rcos ,rsin )rdr

1

1

23

1

C． d f(rcos ,rsin )rdr D． 2d f(rcos ,rsin )rdr

2

11

3、下列说法正确的是（ D ）。 A. 若

、

有一个不存在则函数f(x，y)在点（x0，y0）处一定没有极值

B. 函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有C. 若

，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值

D. 可微函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有

4、方程xz + + 2 2 +1=0，根据隐函数存在定理，在（0，1，1）邻域内（D） A、能唯一确定一个单值二元函数z=z(x,y) B、能确定两个单值二元函数z=z(x,y)和x=x(y,z) C、能确定两个单值二元函数z=z(x,y)和y=y(x,z) D、能确定两个单值二元函数x=x(y,z)和y=y(x,z)

5、设f（0，0）=0，（x，y）不等于（0，0）时，f x，y =( 2+ 2)3/2，则f（x，y）在（0，

22

0）点是（D）

A、连续但偏导不存在 B、偏导存在但不连续 C、连续且可微 D、连续且偏导存在 三、计算、推导、证明题（共17分）

1 2222

(x y)sin,x y 0 22

x y1、（本题3分）设f(x,y) ，讨论在(0,0)处：

22 0,x y 0

（1）f(x,y)的偏导数是否存在？（2）f(x,y)是否可微？

( x)sin

lim

x 0

2

1( x)

2

解 （1）fx(0,0) lim同理fy(0,0) 0．

f(0 x) f(0,0)

x

x 0

x

0，

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（2）由于 z f(0 x,0 y) f(0,0) [( x)2 ( y)2]sin令

1( x) ( y)

2

2

z [fx(0 ,x0 )fy

则 li 0

因此，f(x,y)在点(0,0)可微．

(y0,0 )z]

m

si

2

1

bb

2、（本题3分）设f x, y 为恒大于零的连续函数，求证： f x dx

a

a

1f

x

x

dx b a

b, a

2

证明：采用二重积分的逆向思想。设D: a

b

b

， y

b

I

ab

f

x dx

ab

1f

bb

x

1

dx

ab

f

x dx

ab

1f

y

1

dy

D

ffff

x

y y x

I

x dx

f

a

a

f

x

dx

y dy

f

a

a

f

x

dx

D

f1

I

2 Df

1 f 2D f

x

y D x y

2

2

ff

y

dxdy x

1 f

2 f2D

ff

y

dxdy x x f y

dxdy y f x

12

2dxdy b a

D2

2

2

3、（本题5分）设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占区域为

D {(x,y)|x y xy 75}，小山的高度函数为h(x,y) 75 x y xy．

（1）设M(x0,y0)为区域D上的一个点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(x0,y0)，试写出g(x0,y0)的表达式．

（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界曲线x y xy 75上找出使（1）中的g(x,y)达到最大值的点．试确攀登起点的位置．

解（1）由梯度向量的重要性质，函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向为

gradh(x,y)(x

,y0)

2

2

h h , { 2x0 y0, 2y0 x0}

x y (x0,y0)

方向导数取最大值即gradh(x,y)(xg(x0,y0)

2

,y0)

的模，所以

2

2

2

2

．

2

2

（2）按题意，即求g(x,y)在条件x y xy 75下的最大值点．也就是

g(x,y) ( 2x y) ( 2y x) 5x 5y 8xy

在条件x y xy 75下的最大值点．令

L(x,y, ) 5x 5y 8xy (x y xy 75)，

2

2

2

2

22

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L

10x 8y (2x y) 0(i) x L则有 10y 8x (2y x) 0(ii)．

y L22

x y xy 75 0(iii)

解此方程组：将(i)式与(ii)式相加得 (x y)( 2) 0，即 2或x y．

若x y，则由(iii)式得3x2 75，即x 5,y 5． 若 2，由(i)或(ii)均得y x，代入(iii)式得x2 75，即

x y

于是得可能的极值点为

M1(5, 5),M2( 5,5),M3M4( ．

现比较f(x,y) g2(x,y) 5x2 5y2 8xy在这些点的函数值：

f(M1) f(M2) 450,

f(M3) f(M4) 150．

因实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M1,M2,M3,M4中取到．因此，g2(x,y)在

M1,M2取到在D的边界上的最大值，即M1,M2可作为攀登的起点．

4、（本题3分）计算I e

D

max{bx,ay}

2222

d ，其中D:0 x a,0 y b

解：I

b

e D1

22

x

d

a

e D2

2

y2

d

0

a

bxb2x2

a

dy dx e0

22 bbx

xe a

0

b

aya2y2 b

dx dy e0

a0

dx

b0

22 aayye b1 a2b2 e 1 dy

ab

2

y x，5、（本题3分）设f(x,y)连续，且f(x,y) xy f(u,v)dudv，其中D由y 0，

D

x 1围成，求f(x,y)．

解：设 f(u,v)dudv A，则f(x,y) xy A，两边在D上二重积分，有

D

A

D

1

f(x,y)dxdy xy dxdy

8 D

y )18

10

dx

x0

2

xydy A dx

1x0

2

dy A

18

，则

f(x, xy