5.1 平面向量的概念及线性运算 高三数学总复习讲义Word版含答案

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§5.1平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

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2.向量的线性运算

3.共线向量定理

向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 知识拓展

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—————→＋A 2A 3—————→＋A 3A 4—————→＋…＋A n －1A n —————————→＝A 1A n —————→

，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →

)．

3.OA →＝λOB →＋μOC →

(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ )

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(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )

(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × )

(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ )

(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × )

题组二 教材改编

2．[P86例4]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，

BC →＝________.(用a ，b 表示)

答案 b －a －a －b

解析

如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .

3．[P108B 组T5]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状

为________．

答案 矩形

解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.

由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．

题组三 易错自纠

4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .

若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.

答案 12

解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，

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使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩

⎪⎨⎪⎧

λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23

BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

答案 12

解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23

BC → ＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23

AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.

题型一 平面向量的概念

1．给出下列四个命题：

①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；

③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；

④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .

其中正确命题的序号是( )

A ．②③

B ．①②

C ．③④

D ．②④ 答案 A

解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；

②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，

又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，

∴四边形ABCD 为平行四边形，

反之，若四边形ABCD 为平行四边形，

则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →；

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③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，

又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，

∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；

④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.

2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 答案 D

解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

思维升华 向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．

题型二 平面向量的线性运算

命题点1 向量的线性运算

典例 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )

A.23b ＋13

c B.53c －23b C.23b －13

c D.13b ＋23c 答案 A

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解析 ∵BD →＝2DC →，

∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →，

∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .

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(2)(2017·青海西宁一模)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 边

上，且AD ＝3AE ，则用向量AB →，AC →表示CE →为( )

A.29AB →＋89

AC → B.29AB →－89AC → C.29AB →＋79

AC → D.29AB →－79AC → 答案 B

解析 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝13(AB →＋13

BC →)－AC →

＝13⎣

⎡⎦⎤AB →＋13(AC →－AB →)－AC → ＝29AB →－89

AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数

典例 (1)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，

y ＝______.

答案 12 －16

解析 MN →＝MC →＋CN →

＝13AC →＋12

CB → ＝13AC →＋12

(AB →－AC →) ＝12AB →－16

AC →＝xAB →＋yAC →， ∴x ＝12，y ＝－16

. (2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D

不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫0，12

B.⎝⎛⎭⎫0，13

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C.⎝⎛⎭

⎫－12，0 D.⎝⎛⎭

⎫－13，0 答案 D

解析 设CO →＝yBC →，

∵AO →＝AC →＋CO →

＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)

＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，

∴y ∈⎝⎛⎭

⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，

∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭

⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．

跟踪训练 (1)如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B

的三等分点，那么EF →等于( )

A.12AB →－13

AD → B.14AB →＋12

AD → C.13AB →＋12DA →

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D.12AB →－23

AD → 答案 D

解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.

因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12

DC →. 因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，

所以CF →＝23

CB →. 所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23

DA → ＝12AB →－23

AD →，故选D. (2)如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且与对角线AC

交于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12

AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为______．

答案 29

解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12

AD →， ∴AB →＝52

AE →，AD →＝2AF →. 由向量加法的平行四边形法则可知，

AC →＝AB →＋AD →，

∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)

＝λ⎝⎛⎭

⎫52AE →＋2AF → ＝52

λAE →＋2λAF →， ∵E ，F ，K 三点共线，∴52λ＋2λ＝1，∴λ＝29

. 题型三 共线向量定理的应用

典例 设两个非零向量a 与b 不共线．

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(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，

求证：A ，B ，D 三点共线；

(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．

(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，

∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )

＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，

∴AB →，BD →共线．

又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．

(2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，

则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，

即(k －λ)a ＝(λk －1)b .

又a ，b 是两个不共线的非零向量，

∴k －λ＝λk －1＝0.

消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.

引申探究

若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？

解 BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，

即BD →＝4a ＋(m －3)b .

若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →.

即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝λ，

m －3＝λ，

解得m ＝7. 故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．

思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

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(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．

跟踪训练 (1)(2017·资阳模拟)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )

A ．A ，

B ，

C 三点共线

B ．A ，B ，D 三点共线

C ．A ，C ，

D 三点共线

D ．B ，C ，D 三点共线 答案 B

解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，

∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，

∴A ，B ，D 三点共线．故选B.

(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝

0成立的实数x 的取值集合为( )

A ．{0}

B ．∅

C ．{－1}

D ．{0，－1} 答案 C

解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，

即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，

∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.

当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B 1，C 两点重合，不合题意，舍去．故x ＝－1.故选C.

容易忽视的零向量

典例 下列叙述错误的是________．(填序号)

①若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同；

②|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；

③向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ；

④AB →＋BA →＝0；

⑤若λa ＝λb ，则a ＝b .

错解展示

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④中两个向量的和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0.

错误答案 ④

现场纠错

解析 对于①，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同．

对于②，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．

对于③，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在． 对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，

所以AB →＋BA →＝0.

对于⑤，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤均错．

答案 ①②③④⑤

纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.

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1．(2018·济南调研)以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案 C

解析 ②④错误．

2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )

A ．a 与λa 的方向相反

B ．a 与λ2a 的方向相同

C ．|－λa |≥|a |

D ．|－λa |≥|λ|·a 答案 B

解析 对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．

3．(2017·海南校级模拟)在四边形ABCD 中，设AD →＝a ，BC →＝b ，那么AC →＋BD →等于( )

A ．a －b

B ．a ＋b

C ．b －a

D ．不能确定 答案 B

解析 AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋b ，BD →＝BA →＋AD →＝－AB →＋a ，

∴AC →＋BD →＝AB →＋b ＋(－AB →＋a )＝a ＋b .故选B.

4．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )

A ．A ，

B ，C

B ．A ，B ，D

C ．B ，C ，D

D ．A ，C ，D 答案 B

解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，

D 三点共线．

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5．(2018·济宁模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线

AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案 B

解析 ∵O 为BC 的中点，

∴AO →＝12

(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2

AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2

＝1， ∴m ＋n ＝2.

6．(2018·聊城质检)设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三

点共线，则实数p 的值为( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2 答案 B

解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，

∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .

又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．

设AB →＝λBD →，

∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，

∵a ，b 不共线，

∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.

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7．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是________．(填序号) ①a ∥b ；②a ⊥b ；③|a |＝|b |；④a ＋b ＝a －b .

答案 ②

解析 根据向量加法、减法的几何意义可知，|a ＋b |与|a －b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b .

8．(2018·青岛质检)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝

b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12

b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0. 其中正确命题的序号为________．

答案 ②③④

解析 BC →＝a ，CA →＝b ，

AD →＝12CB →＋AC →＝－12

a －

b ， BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12

b ， CF →＝12(CB →＋CA →)＝12

(－a ＋b ) ＝－12a ＋12

b ， 所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12

a ＝0. 所以正确命题的序号为②③④.

9.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，

则m －n ＝________.

答案 －2

解析 由于BD ＝2DC ，则BC →＝－3CD →，

其中BC →＝AC →－AB →，CD →＝AD →－AC →，

那么BC →＝－3CD →可转化为

AC →－AB →＝－3(AD →－AC →)，

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可以得到－2AC →＝－3AD →＋AB →，

即AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32

， 那么m －n ＝－12－32＝－2.