[原创]2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第五章 第1讲 不等式的概念

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第五章

不等式

1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组) 的实际背景. 2.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

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(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设 计求解的程序. 3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组. (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决.

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a+b 4.基本不等式： 2 ≥ ab(a、b≥0)

(1)了解基本不等式的证明过程. (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)问题.

近几年来，问题多数以“开放性问题”为主，就是以实际 问题为背景，抽象出函数模型，建立函数关系式.最近几年常 在证明不等式和解不等式的知识交错处命题，将函数的单调性， 不等式的性质，均值不等式有机结合起来，主要考查综合运用 知识的能力.

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(1)关于解不等式的考查：在高考试题中关于不等式的解法 是每年必考的内容，选择题、填空题多为容易题，解答题为中 等题或稍难题，解不等式的试题中大多含有参数，考查分类讨 论的思想. (2)关于不等式应用的考查：用不等式解决函数的定义域、 值域、最值问题，函数的单调性，以及用不等式来讨论方程根 与系数的关系和解决实际问题等.今后随着高考对能力考查的 增加，对于函数问题，研究方程根问题的处理，特别是实际应 用问题，在复习时应足够重视，掌握一些适当的建模和一些日 常的常识性的问题. (3)不等式与向量、不等式与导数的联姻将会受到命题者的 青睐，因此也应该引起我们足够的重视.

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第1讲 不等式的概念与性质

1.比较原理 (两实数之间有且只有以下三个大小关系之一) a>b a-b>0; a<b a-b<0; a=b a-b=0.

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2.不等式的性质 (1)对称性：a>b b<a;a<b b>a. a>c (2)传递性：a>b,b>c _______. a+c>b+c (3)可加性：a>b ____________. 移项法则：a+b>c a>c-b. a+c>b+d 推论：同向不等式可加.a>b,c>d ___________. (4)可乘性：a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 _______. ac<bc ac>bd 推论 1:同向(正)可乘：a>b>0,c>d>0 _______. 推论 2:可乘方(正):a>b>0 ________(n∈N*,n≥2). an>bnn n a> b (5)可开方(正):a>b>0 _________(n∈N*,n≥2).

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1.“a+c>b+d ”是“a>b 且 c>d ”的( ) A A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：易得 a>b 且 c>d 时必有 a+c>b+d.若 a+c>b+d 时，则可能有 a>d 且 c>b. 2.a、b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( D ) A.b-a>0 C.a2-b2<0 B.a3+b3<0 D.b+a>0

解析：利用赋值法：令 a=1,b=0 排除 A、B、C.

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3.已知 a、b∈R,且 a>b,则下列不等式中恒成立的是( B )2 2

A.a >b

B.

1 a 1 b < 2 2

C.lg(a-b)>0

a D.b>1

4.已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪( RB)= R,则实数 a 的取值范围是( C ) A.a≤2 C.a≥2 B.a<1 D.a>2

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π π (-π,0) 5.若-2<α<β<2,则 α-β 的取值范围是__________.

π π π π 解析：由-2<α<2,-2<-β<2,α<β 可得(-π,0).

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考点 1 不等关系的判定例 1:已知 a、b 都是正数，并且 a≠b,求证：a5+b5>a2b3+ a3b2.

解题思路：作差整理，定符号. 解析：(a5+b5)-(a2b3+a3b2) =(a5-a3b2)+(b5-a2b3) =a3 (a2-b2)-b3 (a2-b2) =(a2-b2)(a3-b3)

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=(a+b)(a-b)2 (a2+ab+b2). ∵a、b 都是正数， ∴a+b,a2+ab+b2>0. 又∵a≠b, ∴(a-b)2 >0, ∴(a+b)(a-b)2 (a2+ab+b2)>0. 即：a5+b5>a2b3+a3b2. 作差比较法的步骤是：①作差；②变形：配方、因 式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号；④作出结论.

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【互动探究】 x 1.(1)一般的人，下半身长 x 与全身长 y 的比y在 0.57~0.6 之间， 这个比值越接近黄金分割值 0.618 就越美， 为了追求这个 比值，女士们穿高跟鞋，而芭蕾舞演员在表演时脚尖立起以美 的享受，用来解释这种现象的数学关系式为________; (2)设 a∈R 且 a≠- 2,比较 2 与 2-a 的大小. 2+a

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x+m x 解：(1) > (x、y、m∈R+) y+m y 2 a2 -( 2-a)= , (2) 2+a 2+a 当 a>- 2且 a≠0 时， a2 2 ∵ >0,∴ > 2-a. 2+a 2+a a2 2 =0,∴ = 2-a. 当 a=0 时，∵ 2+a 2+a a2 2 当 a<- 2时，∵ <0,∴ < 2-a. 2+a 2+a

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考点 2 比较法的综合应用 例 2:已知函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}对定义域 内的任意 x1、x2,都有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当 x>1 时 f(x)>0, f(2)=1. (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数； (3)解不等式 f(2x2-1)<2. 解题思路：证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义 结合比较法.

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解析： (1)因对定义域内的任意 x1、2 都有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), x

令 x1=x,x2=-1,则有 f(-x)=f(x)+f(-1). 又令 x1=x2=-1,得 2f(-1)=f(1), 再令 x1=x2=1,得 f(1)=0,从而 f(-1)=0, 于是有 f(-x)=f(x),所以 f(x)是偶函数. (2)设 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f x2 x2 =-f , =f(x1)- f(x1)+f x 1 x1 x2

x1· x1

x2 由于 0<x1<x2,所以x >1,从而 f 1

x2 >0, x1