数学竞赛辅导练习题及详细答案

数学竞赛辅导练习题2006、10、22

一、 选择题：

1、已知a、b、c都是实数，并且a b c，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）ab bc（Ｂ）a b b c（Ｃ）a b b c（Ｄ）

ac bc

2、如果方程x2 px 1 0 p 0 的两根之差是1，那么p的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5

3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知abc 0，并且

a bc b ca c a

b

p，那么直线y px p一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四

5、如果不等式组 9x a 0

的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、

8x b 0b的有序数

对（a、b）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个

6、计算

的值是（ ）。（A）1（B）－1（C）2（D）－2。

7、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ ）。 （A）12；（B）16；（C）24；（D）30。

8

、设

，将一次函数

与

的图象画在同一平面直角坐标

系内，则有一组

的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。

9、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段

AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ ）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。 10、有下列三个命题：（甲）若

是不相等的无理数，则

是无理数；

（乙）若

是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的

无理数，则

是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 二、填空题：

6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、

F分别是垂足，那么PE+PF=___________。

9、已知方程a2x2 3a2 8a

x 2a2 13a 15 0（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处，两船相距2km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。

1.设m 5 1,那么m

1

m

的整数部分是2.在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米.

3.已知x3 x 1 0,那么代数式x3 2x 1的值是4.已知m,n是有理数,并且方程x2 mx n 0有一个根是5 2,那么m n的值是 .

5. 如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF=3厘米,那么FG= 厘米.

6.满足19982+m2=19972+n2(0 m n 1998

)的 整数对(m,n),共有 个.

7.设平方数y2是11 个相继整数的平方和,则y的最小值是8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P, 已知

MP BC, BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半, BP=2厘米, PC=3厘米,那么直

角三角形ABC的面积是__________平方厘米. 9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米,

E, F分别为边AB, BC上的点, AF, CE相交于 点G,并且 ABF的面积为5平方厘米, BCE的 面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积 是____________平方厘米.

10、已知且，

则＝________。

11、已知为整数，且满足

，则

＝________。

12、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。

三、解答题

1、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，

A

点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE， 求△CEF的面积。

2、某班参加一次智力竞赛，共三题，

BF

C

每题或者得满分或者得0分。其中题满分20分，题、题满分分别为25分。竞

赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题

的人数与答对题

的人数之和为29，答对题

的人数与答对题

的人数之

和为25，答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少

分？

数学竞赛辅导练习题答案2006、10、22

1．根据不等式性质，选B．

2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x12为方程两根，那么有x+x2=-p，x1x2=1．又由

(x1-x2)2=(x1＋x22)-4x1x2，

3．如图3－271，连ED，则

又因为DE是△ABC两边中点连线，所以

故选C．

4．由条件得

三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．

当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．

y=-x-1，则直线通

过第二、三、四象限． 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，

的可以区间，如图3－

272．

+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．

6、原式＝

。

7、解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。

∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。∴

。

8、解：

由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点横坐

标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于

，小于

的数，不等于

，故图D不对；故选B。

9、解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC＝90°，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2。 10

、解：

，只要令

，

，则

为有理数，故（甲）不对；又若令

，，则

为有理数，故（乙）不对；又若令

，则

为有理数，故（丙）不对；故正确命题个数

是0，应选（A）。

二、填空题

6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，

所

9．因为a≠0，解得故a可取1，3或5．

10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1

，

A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，

所以

1． 3 m 1，

1m 15 1

5 1

4， ∴ m

1m 54 34， m 1

m

3. 2．

22

3

如图，AD为直角A的平分线，过B作BE//DA交CA的延长线于点E. EBA BAD 45 ，

AE AB 1，EB 2，又 CDA∽ CBEADAC2222

EB CE 3，∴AD 3EB 3

.

3．2

x3 2x 1 (x3 x2 x) (x2 x 1) 2 x(x2 x 1) (x2 x 1) 2 2.

4．3

因为m、n为有理数，方程一根为5 2，那么另一个根为 5 2，由韦达定理. 得 m 4，n 1，∴m n 3.

5．16AE3 由原图 EF BEED EGEF FG

AE AE

，

∴ FG AE2EF EF 523 3 16

3

(厘米). 6．16 n2 m2

3995 5 17 47

,

(n m)(n m) 5 17 47.

显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)共

2 2 2 2 16(个).

7．11 11个相继整数的平方和为

(x 5)2 (x 4)2 x2 (x 4)2 (x 5)2 11(x2 10) y2, 则y最小时，从而x2 1，∴y 11.

8．39

∵ MBP∽ CBA， S MBP:S CBA 1:3， BP:BA 1:, ∴ BA 23，AC . S1

ABC 2

2 39. 9．4

2027 ∵ BFS ABF2

BEBC S ，同理

4, ABC7

BA5由原图，连BG. 记S AGE a，S EGB b，S BGF c，S EGc d. 又由已知 a b c 5，b c d 14，解之得 b 2827， c 100

27

. ∴ SBEGF b c

12820

27 427

(平方厘米). 10、解：

，即

，，

，

，

，。

11、解：左边＝，即，，而为整数，且不相等，

只可能取值

或

。不妨设

，

则

，或，∵（2）无整数解，由（1）得

，

。

12、

解：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB，∴

，即

。令DN＝1，CT＝MD＝，则AM

＝

，BM＝

，BT＝，代入（1

）式得

，注意到

，解得

。

三、解答题 1、

解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为∠ABE＋∠AEB=90°，

∠CED＋∠AEB=90°，所以 ∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以

又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以

所以

解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为∠ABE＋∠AEB＝90°，

∠FEH+∠AEB=90°，所以 ∠ABE=∠FEH， 于是Rt△EHF∽Rt△BAE

．因为

所以

2、解：设分别表示答对题、题、题的人数，则有

，

，

，∴答对一题的人数为37－1×3－2×15＝4，

全班人数为1＋4＋15＝20，∴平均成绩为

。

答：班平均成绩为42分。