向量的内积与二面角的计算

向量的内积与二面角的计算

向量的内积与二面角的计算

华东师范大学数学系 林 磊

在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：

cos cos cos sin sin cos , (1)

其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。 AON ， BON ， AOB 。 为二面角P-MN-Q（见图1）。 z

PA

a

Mb

NBQ

图1

公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：

以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则OD MN，得

AOD

2 ， DOx ， DOz

2 。

分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量a，b，则a,b 。

a由计算知，b的坐标分别为

(sin cos ,cos ,sin sin )，(sin ,cos ,0)，

于是，

a b a b cos cos sin sin cos 。 cos |a| |b|

公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。

向量的内积与二面角的计算

例1．立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。

求面EFG和面GHI的夹角 的大小（用反三角函数表示）。

解 由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面HIG 。而 就是二面角G-IH-G （见图3）。利用公式（1），只要知道了 ， 和 的大小，我们就能求出 。

1

A

图2

由已知条件， GHI和 HIG 均为等边三角形，所以

3，

GIG

2。因此，

DCA图3

cos

2 cos

3cos3 sin3sin

3cos ，

即

0 1

2 1

2 3

2 2cos 。

解得

而

向量的内积与二面角的计算

11cos ， arcc。 33

当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角 来。

例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角 的大小。

解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线（如图4），则公式（1）中的 ， ， 分别为：

AMN， BMN， AMB，

因此它们均为正五边形的内角。所以

108 。

图4

所以，由公式（1）知

cos108 cos108 cos108 sin108 sin108 cos ， 或

cos cos108 (1 cos108 )5。 5sin2108

因此， ，或 116 33 54 。 5

如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角 的大小在计算上要复杂很多。

利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。 设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。设该正五棱锥为 ，从而可知：

V 12V 。

向量的内积与二面角的计算

再设 的底面积为S、高为h，设O 为单位边长正五边形（即 的底）的中心，A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点，|O H| a，则

11a5tan O'AH tan54 ， S 5 tan54 。 2224

h 仍设 为正十二面体两相邻面的夹角，则 tan。所以 a2

1 h tan54 tan。 22

但是， O'AH 54 ， a

tan

从而 2 cos5 1， 1 cos 2

V 12V 4Sh

5 1 4 tan54 tan54 ta 2 4 2

5 (tan54 )2ta 2255 255 1 252

15 75， 4

或V 7.6631，这一结果与[2，p86]中的结果相吻合。

参 考 文 献

[1] 《高等代数与解析几何》（I），陈志杰主编，高等教育出版社，施普林格出

版社，2000 年6月

[2] 《数学手册》，高等教育出版社，1979年5月

地址：中山北路3663号，华东师范大学数学系，上海200062

e-mail:linalgebra@http://

2001年10月8日