学科网3-2-1备战2010高考精品系列之数学题九 立体几何七(教师版)

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【考点预测】 2010高考预测

从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一个解答题，1至3个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解． 高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力 . 近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题。具体预测如下：

（1）题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象能力的试题；解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；

（2）研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题。复习建议

1、三视图是新课标新增的内容，2007、2008、2009年课改区的高考题都有体现，因此，三视图的内容应重点训练。

2．证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.

3．空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°。

4．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用5．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变

.

【母题特供】每个专题5道最典型试题

母题一： 金题引路：

在五棱锥P ABCDE中，PA=AB=AE=2a,PB=PE=, BC=DE=a, EAB ABC DEA 90.（Ⅰ）求证:PA 平面ABCDE（Ⅱ）求二面角A PD E 的大小。

（Ⅰ）在 PAB中 PA AB 2a,PB PA2 AB2 PB2 PA AB同理PA AE PA 平面ABCDE

（Ⅱ） 过A点作AG PE于G，再G作GH PD于H，连接AH

PA 平面ABCDE PA DE而DE AE DE 平面PAE，而DE 平面PDE

平面PDE 平面PAE而AG PE AG 平面PDE而GH PD

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由三垂线定理得AH PD AHG为二面角A PD E的平面角

A PD E的大小为母题二： 金题引路：

正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB与BB1的中点.（I）求证：EF⊥平面A1D1B； （II）求二面角F—DE—C的正切值； （III）若AA1=2，求三棱锥D1—DEF的体积.

方法一：（I）∵E、F分别为AB与BB1的中点， ∴EF∥AB1，而AB1⊥A1B，∴EF⊥A1B. 2分 又D1A1⊥平面ABB1A1，∴D1A1⊥EF，∴EF⊥平面A1D1B 4分 （II）设CB交DE的延长线于点N，作BM⊥DN于M点，连FM 5分

∵FB⊥平面ABCD，∴FM⊥DN，

∴∠FMB为二面角F—DE—C的平面角 7分

设正方体棱长为a，则FB

a

，在Rt△EBN中，2

EB =

a，BN = a，EN =a，22

BM

EB BN5

a， 9分EN5

FB，

BM2

在Rt△FBM中，tan FMB

∴二面角F—DE—C的正切值为

. 10分2

（III）连结DB，∵BB1∥DD1， S D1DF S D1DB， 11分

VD1 DEF VE D1DF VE D1DB VD1 DEB

11122

S DEB DD1 ( 2) 2 . 13分33223

母题三： 金题引路：

如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是EC、AD的中点. （1）求证：面EFDC⊥面ECB；

（2）求直线MN与平面EFDC所成的角.

方法一：（1）∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，

又ABEF为正方形，∴AB⊥BE，∴AB⊥面ECB. （3分） 又∵CD∥AB，∴CD⊥面ECB， （5分） 而CD 面EFDC，∴面EFDC⊥面ECB. （6分）

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（2）过点N作NH⊥DF于点H，连结MH. （7分） ∵AF∥BE，AD∥BC，∴面ADF∥面BCE， ∴面ADF⊥面EFDC，

∴NH⊥面EFDC，∴∠NMH即为所求. （9分） 过点M作MG⊥BC于点G，连结NG.

设AD=2a，则NH=HD=

22ND=a，22

MG

1

EB a, MN MG2 NG2 a2 (2a)2 a， （11分）2

2a

NH sin NMH ,

MN105a

直线MN与面EFDC所成的角为arcsin. （12分）

10

方法二：（1）以B为原点，以BA、BC、BE所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系B—xyz，则有A（1，0，0），E（0，0，1），C（0，1，0），D（1，1，0），F（1，0，1），

111 M(0,,),N(1,,0),

222 (0,0,1), (1,0,0),

1

(1,0,0), (0,1, 1), ( 1,0,). （5分）

2

（1）由上可知 0,∴CD⊥BE，而CD⊥BC，

∴CD⊥面ECB，∴面EFDC⊥面ECB. （8分）

（2）设向量n为平面EFDC的一个法向量，则n不垂直于平面ABEF.

x 0 故可令n (x,y,1),则有 x 0,y 1, (0,1,1). （10分）

y 1 0 n EC

又设所求线面角为θ，则线与法向量所成的角为

2

， sin cos(

2

)

, 10

直线MN与面EFDC所成的角为arcsin

. （12分） 10

母题四：

金题引路：平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD，A1ADD1为菱形，且∠DAB=∠D1DA=60°，AB=2，二面

角D1—AD—B的余弦为－

1

. （Ⅰ）若点E为AD中点，证明：CB⊥面D1EB；（Ⅱ）求∠D1DC的值. 3

方法一：（I）由题设△ADD1与△ADB

均为正三角形，

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则D1E⊥AD，BE⊥AD， （4分） ∴AD⊥现D1EB，而BC//AD， ∴CB⊥面D1EB. （6分）

（II）由（I）可知∠D1EB是地面角D1—AD—B的平面角，∴cos∠D1EB=－

2

2

1

. （8分） 3

由AB=2，则D1E=BE=3，由余弦定理得D1B=D1E－2D1E·BE·cos∠D1EB=8，（10分）

22

又由（I）知CB⊥D1B，∴D1C=BC D1B 23，

在等腰△D1DC中，D1C=2，DD1=CD=2，∴∠D1DC=120°. （13分）

2

方法二：（I） BE AE (BA AE) AE BA AE AE || ||·cos120°+1=0，

∴BE⊥AE. （3分）同理：D1E⊥AE. （4分）

∴AD⊥面D1EB，∵BC//AD，∴BC⊥面D1EB. （6分） （II）由（I）可知∠D1EB是二面角D1—AD—B的平面角，

1

cos D1EB . (8分)又EB ED1 , DD1 DC DD1 AB (DE ED1) (AE EB)

3

1

ED1 DE2 |ED1| || cos D1EB 1 3 ( ) 2 (11分)

3 cos D1DC

DD DC1

21

,2 22

∴∠D1DC=120°. （13分）

母题五、金题引路：如图所示，四棱锥P ABCD中，AB AD,AD DC,PA 底面ABCD，

PA AD DC

AN

1

AB 1,M为PC的中点，N点在AB上且2

1

NB（I）证明：MN//平面PADN； 3

（II）求直线MN与平面PCB所成的角

方法一：（I）过点M作ME//CDM交PD于E点， 连结AE

1NB3

11

AN AB DC EM

42

//

又EM//DC//AB, EM AN

AEMN为平行四边形

AN

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MN//AE, MN//平面PAD

（II）过N点作NQ//AP交BP于点Q，NF CB于点F 连结QF,过N点作NH QF于H，连结MH

易知QN 面ABCD， QN BC，而NF BC， BC 面QNF

BC NH,而NH QF, NH 平PBC， NMH为直线MN与平面PCB所成的角

3QN ,NF ， 24QN NF NH ，

QF 通过计算可得MN AE

NH NMH 60 MN2

直线MN与平面PCB所成的角为60 方法二：以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分

别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A xyz， 如图所示，过点M作ME//CD交PD于E点， 连结AE，由已知可得A（0，0，0）、B（0，

sin NMH

2，0）、D（1，0，0）、C（1，1，0）、P（0， 0，1）、M（ N（0，

11111

，，）、E（，0，）、 22222

1

，0） 2 11 11

（I） NM (,0,),AE (,0,),

2222

MN//AE

MN//平面PAD

（II）不妨设a (1,y,z),且a 面PBC，则a BC,a BP,

1 y 0 y 1

而BC (1, 1,0),BP (0, 2,1),

2y z 0 z 2

1 0 1 a NM a (1,1,2) cos a,NM

|a| |NM|

即向量a与NM的夹角为30， 直线MN与平面PCB所成的角为

60

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