2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题(word版,含答案)

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2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题

答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．

2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）

3x 2y a,

1．要使方程组 的解是一对异号的数，则a的取值范围是（ 2x 3y 2

444

＜a＜3 (B) a＜ (C) a＞3 (D) a＜，或a＞3 333

2．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空

(A)

心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1 cm，那么△DEF的周长是（ ）

(A) 5 cm (B) 6 cm (C)（6 ）cm (D)

（3 ）cm 的截法有（ ）

(A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种 4．作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向

上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y 2(x 1)2 1，则抛物线A所对应的函数表达式是（ ）

(A) y 2(x 3)2 2 (B) y 2(x 3)2 2 (C) y 2(x 1)2 2 (D) y 2(x 1)2 2

B

C

（第2题）

3．将长为15 dm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同

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5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好

组成一套教材的概率是（ ）

2111 (B) (C) (D) 3326

6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点A处，现顺时

(A)

针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k次依次移动k个顶点．如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B处，

第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D处．

在这10次移动的过程中，棋子不可能停到的顶点是（ (A) C，E，F (B) C，E，G (C) C，E (D) E，F

7．一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，若a，b都是偶数，c是奇数，则

这个方程（ ）

(A) 有整数根 (B) 没有整数根 (C) 没有有理数根 (D) 没有实数根 8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样

的图案为L形，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是（ ）

(A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 64

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

(第8题)

9．已知直角三角形的两直角边长分别为3 cm和4 cm，那么以两直角边为直径的两圆公共

弦的长为 cm．

10．将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当数据的

个数是奇数时），或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数．现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是 ．

11．△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．已知a=，b= 2，c= 2，

则bsinB+csinC的值等于 ．

12．设直线y kx k 1和直线y (k 1)x k（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为

Sk，则S1 S2 S3 S2006的值是 ．

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13．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是

2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为 ． 14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分

为1∶2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 ．

E

C

（第13题）

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

15．已知a，b，c都是整数，且a 2b 4，

ab c2 1 0，求a b c的值．

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16．做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一

段时间内都能售出A，B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元．某日王老板

进货A款式服装35件，B款式服装25件．怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？

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17．如图所示，⊙O沿着凸n边形A1 A2 A3 An-1An的外侧

(圆和边相切)作无滑动的滚动一周回到原来的位置． (1) 当⊙O和凸n边形的周长相等时，证明⊙O自身转动了

两圈．

(2) 当⊙O的周长是a，凸n边形的周长是b时，请写出此时⊙O自身转动的圈数．

n-1

（第17题）

A3

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18．已知二次函数y x2 2(m 1)x m 1．

(1) 随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．

(2) 如果直线y x 1经过二次函数y x2 2(m 1)x m 1图象的顶点P，求此时m

的值．

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2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．答案：D

x 3a 4, 5解：解方程组，得 6 2a y . 5

4 3a 4 0, 3a 4 0,

只需 或 即a＜或a＞3． B 6 2a 0; 6 2a 0.32．答案：B

C

（第2题）

解：连结BE，分别过E，F作AC的平行线交BC于点M和N，则EM=1，BM=3，

MN=4 1 3 3．∴ 小三角形的周长是MN 2MN MN 6cm． 3．答案：C

解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、 （4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种． 4．答案：D

解：将抛物线C再变回到抛物线A：即将抛物线y 2(x 1)2 1向下平移1个单位，

再向右平移2个单位，得到抛物线y 2(x 1)2 2，而抛物线y 2(x 1)2 2关

于x轴对称的抛物线是y 2(x 1)2 2．

5．答案：A

解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同

42

的取法，故所求概率是 ．

63

6．答案：A

解： 经实验或按下述方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．

设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，

3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数1

是1 2 3 k k k 1 ，应停在第

2

1

k k 1 7p格，这里p是整数，且使0≤211

k k 1 7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7，时，k k 1 7p=1，3，22

6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋．若7＜k≤10，设k 7 t（t=1，

11

2，3）k k 1 7p=7m t t 1 ，由此可知，停棋的情形与k t

22

时相同．故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．

7．答案：B

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解：假设有整数根，不妨设它的根是2k或2k+1（k为整数），分别代入原方程得方程

两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A；若a，b，c分别取4，8，3则排除C，D．

8．答案：C

解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2

×2 小方格图形共有12个，故画出不同位置的L形图案个数是12×4=48． (第8题)

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

12

9．答案：

5

12

解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h)，则5h=3×4，h=．

5

10．答案：35％或65％（答对一个给3分）

解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位

数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％． 11．答案：

解：不难验证，a2=b2+c2．所以△ABC是直角三角形，其中a是斜边．

bcc2 b2a2

bsinB+csinC=b +c ===a=．

aaaa

1003

12．答案：

2007

y kx k 1, x 1,

解：方程组 的解为 直线的交点是 1, 1 ．

y k 1 x k y 1.

1 k

（k 1）x k与x轴的交点分别是（直线y kx k 1，y ，0）、

k

11 k k111 k

（，0）．Sk 1 =．所以

2kk 12kk 1k 1

1 1111111

S1 S2 S3 S2006= 1 2 2233420062007

=

13．答案：

1 1 1003

1 ． 2 2007 2007

E

2

2

解：连结DM并延长交EF于N，则△ADM≌△ENM，∴FN=1，则FM是等腰直角△DFN的底边上的

高，所以FM=

2．

2

C

（第13题）

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14．答案：

4

解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得

x 4n, x 2n, x x 2n, x x n,

3 或 3 22 或 解得 x x

y n. y 5n; y n. y 2n;

2 33 2

x 4n, 2n5n3其中n是3的倍数．∵ 2 舍去)，∴ 取 (此时不能构成三角形，

n33 y , 3

三角形的面积S

1n4nn632632

()2 ()2 n．对于S n， 23363636

取最小． 4

当n≥0时，S 随着n的增大而增大，故当n=3时，S

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)

解：将a 4 2b代入ab c 1 0，得2b2+4b+c2 1=0， 2分

2

2 6 2c2

∴ b ． 2分

2

b 0, b2 0, b3 2, b4 2,

∵ b，c都是整数，∴ 只能取 1 ， 4分

c1 1; c2 1; c3 1; c4 1

相对应a1=4，a2=4，a3=０，a4=0．

故所求a b c的值有4个：5，3， 1， 3． 4分

16．(12分)

解：设分配给甲店铺A款式服装x件(x取整数，且5≤x≤30)，则分配给甲店铺B款

式服装(30 x)件，分配给乙店铺A款式服装(35－x)件，分配给乙店铺B款式服装[25－(30 x)]= (x 5)件，总毛利润(设为y总)为：

y总=30x+40(30 x)+27(35 x)+36(x 5)= x+1 965． 4分 乙店铺的毛利润(设为y乙)应满足：

5

y乙=27(35 x)+36(x 5)≥950，得x≥20． 3分

9

对于y总= x+1 965，y总随着x的增大而减小，要使y总最大，x必须取最小值，又

5

x≥20，故取x=21．即分配给甲店铺A，B两种款式服装分别为21件和9件，

9

分配给乙店铺A，B两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大， 3分 其最大的总毛利润为：y总最大= 21+1 965=1 944(元)． 2分

17．(12分)

解：(1) 一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数

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=(线段的长度÷圆的周长)圈．因此若不考虑⊙O滚动经过n个顶点的情况，则⊙O自身恰好转动了一圈． 3分

现证明，当⊙O在某边的一端，滚动经过该端点(即

顶点)时，⊙O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角．

如图所示，设∠A2 A1 An为钝角，已知An A1是⊙O的切线，⊙O滚动经过端点A1后到⊙O 的位置，此时A1A2是⊙O 的切线，因此OA1⊥AnA1，O A1⊥A1 A2． 当⊙O转动至⊙O 时，则∠ 就是⊙O自身转动的角度．

∵∠ +∠ =90º，∠ +∠ =90º，∴∠ =∠ ． 即⊙O滚动经过顶点A1自身转动的角度恰好等于顶点A1的一个外角． 3分

n-1

（第17题）

对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证．（注：只证明直角的情况，只给2分） ∵ 凸n边形的外角和为360º，

∴ ⊙O滚动经过n个顶点自身又转动了一圈． 3分

∴ ⊙O自身转动了两圈．

b

(2) ⊙O自身转动的圈数是( 1)圈． 3分

a

18．(14分)

解：(1) 该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上． 2分

求该抛物线的函数表达式如下：

利用配方，得y=(x+m+1)2 m2 3m，顶点坐标是P( m 1， m2 3m)．

2分

方法一：分别取m=0， 1，1，得到三个顶点坐标是P1( 1，0)、P2(0，2)、 P3( 2， 4)，过这三个顶点的二次函数的表达式是y= x2+x+2． 3分 将顶点坐标P( m 1， m2 3m)代入y=－x2+x+2的左右两边，左边= m2 3m， 右边= ( m 1)2+( m 1)+2= m2 3m，∴ 左边=右边．即无论m取何值，顶点P都在抛物线y= x2+x+2上．即所求抛物线的函数表达式是y= x2+x+2． 3分 （注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分） 方法二：令 m 1=x，将m= x 1代入 m2 3m，得

( x 1)2－3( x 1)= x2+x+2． 3分 即所求抛物线的函数表达式是y= x2+x+2上． 3分 (2) 如果顶点P( m 1， m2 3m)在直线y=x+1上，

则 m2 3m= m 1+1， 2分 即m 2m． ∴ m=0或 m= 2．∴当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x m+1图象的顶点P时，m的值是 2或0． 2分

2