高二数学课件：相互对立事件同时发生的概率

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11.3相互独立事件同时 11.3相互独立事件同时 发生的概率(1) 发生的概率(1)

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复习: 复习:1.什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？ 什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？ 什么叫做互斥事件 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件； 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件； 互斥事件 如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生， 如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生，这样的两个互 斥事件叫对立事件 斥事件叫对立事件 2.两个互斥事件 、B有一个发生的概率公式是什么？ 两个互斥事件A、 有一个发生的概率公式是什么 有一个发生的概率公式是什么？ 两个互斥事件 P(A+B)=P(A)+(B) 3.若A与ā为对立事件，则P(A)与P(ā)关系如何 若 与 为对立事件 为对立事件， 与 关系如何 P(A)+P(ā)=1

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4.一个坛子里有 个白球，3个黑球，l个红球，设摸到一个球是 一个坛子里有6个白球 个黑球， 个红球， 一个坛子里有 个白球， 个黑球 个红球 白球的事件为A,摸到一个球是黑球的事件为 ， 白球的事件为 ，摸到一个球是黑球的事件为B,问A与B是互 与 是互 斥事件呢，还是对立事件？ 斥事件呢，还是对立事件？ 5.甲坛子里有 个白球，2个黑球；乙坛子里有 个白球，2个黑 甲坛子里有3个白球 个黑球； 个白球， 个黑 甲坛子里有 个白球， 个黑球 乙坛子里有2个白球 球.设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件A,从乙坛子 设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件 ， 里摸出一个球，得到白球叫做事件B.问A与B是互斥事件呢？ 里摸出一个球，得到白球叫做事件 . 与 是互斥事件呢？ 是互斥事件呢 还是对立事件？还是其他什么关系？ 还是对立事件？还是其他什么关系？ 从一个坛子里摸出的是白球还是黑球， 从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出 白球的概率没有影响

事件A(或 是否发生对事件 是否发生对事件B(或 发生的概率 发生的概率没有影响 事件 或B)是否发生对事件 或A)发生的概率没有影响

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1.独立事件的定义: 1.独立事件的定义: 独立事件的定义事件A(或 是否发生对事件 是否发生对事件B(或 发生的概率没有影响 发生的概率没有影响， 事件 或B)是否发生对事件 或A)发生的概率没有影响，这 样的两个事件叫做相互独立事件 样的两个事件叫做相互独立事件. 相互独立事件 注： 1.事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念. 事件间的“互斥” 相互独立”是两个不同的概念. 事件间的 2.两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件互斥是指这两个事件

不可能同时发生 3.两个事件相互独立是指其中一个事件的发生与否对另一个事件 两个事件相互独立是指其中一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响. 发生的概率没有影响. 4.一般地，如果事件A与B相互独立，那么 与 B, A 与 B, A 一般地，如果事件 与 相互独立 那么A与 ， 相互独立， 一般地 ， 与 B 也都是相互独立的

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5.甲坛子里有 个白球，2个黑球；种等可能的结果；从乙坛子里 甲坛子里有3个白球 个球，有 5 种等可能的结果； ,2个黑 个黑球；乙坛子里有2个白球 个白球， 个黑 甲坛子里有 个白球， 个黑球 乙坛子里有 个白球 从甲坛子里摸出1个球 从甲坛子里摸出 个球， 摸出1个球，有 4 种等可能的结果。 个球， 种等可能的结果。 摸出 设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件 ，从乙坛子 个球 球.设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件A, 个球， 与 是互斥事件呢 于是从两个坛子里个摸出 1 个球，共有5× 里摸出一个球，得到白球叫做事件B. 共有 ×4=20 种等可能 是互斥事件呢？ 里摸出一个球，得到白球叫做事件 .问A与B是互斥事件呢？ 的结果，如下表(每个结果的左、右分别表示从甲、 的结果，如下表(每个结果的左、右分别表示从甲、乙坛子里 还是对立事件？还是其他什么关系？ 还是对立事件？还是其他什么关系？ 取出的球的颜色) 取出的球的颜色) 6.在问题 中，若记事件 与事件 同时发生为 B,那么 在问题5中 若记事件A与事件 同时发生为A ,那么P(A B) 与事件B同时发生为 在问题 有什么关系呢？ 与P(A)及P(B)有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？ 及 有什么关系呢 它们之间有着某种必然的规律吗？

(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) 白 白 白 白 (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) 白 白 白 白 (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) 白 白 白 白 (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) 黑 黑 黑 黑 (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) 黑 黑 黑 黑

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(白1,白a)(白1,白b) (白1,黑a)(白1,黑b) 白 白 白 白 (白2,白a)(白2,白b) (白2,黑a)(白2,黑b) 白 白 白 白 (白3,白a)(白3,白b) (白3,黑a)(白3,黑b) 白 白 白 白 (黑1,白a)(黑1,白b) (黑1,黑a)(黑1,黑b) 黑 黑 黑 黑 (黑2,白a)(黑2,白b) (黑2,黑a)(黑2,黑b) 黑 黑 黑 黑3 3× 2 P( A) = P( A B) = 5 5× 4 P(A B)=P(A) P(B) P(A B)=P(A) 2 P(B) = 4

两个相互独立事件同时发生的概率， 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积

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2.独立事件同时发生的概率的计算公式 2.独立事件同时发生的概率的计算公式 如果事件A 如果事件 1,A2,…,An相

互独立，那么这 个事件同时 ， 相互独立，那么这n个事件同时 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即： 发生的概率等于每个事件发生的概率的积， P(A1 A2…An)=P(A1) P(A2)…P(An)

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1、一个口袋装有2个白球和 个黑球，把“从中任意摸出 个球， 、一个口袋装有 个白球和 个黑球， 个白球和2个黑球 从中任意摸出1个球 个球， 得到白球”记作事件 ， 从剩下的3个球中任意摸出 个球， 个球中任意摸出1个球 得到白球”记作事件A,把“从剩下的 个球中任意摸出 个球， 得到白球”记作事件 ，那么， 得到白球”记作事件B,那么， (1)在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？ 在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？ 在先摸出白球后 (2)在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？ 在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？ 在先摸出黑球后 (3)这里事件 与事件 是相互独立的吗？ 这里事件A与事件 是相互独立的吗？ 这里事件 与事件B是相互独立的吗

(1)“在先摸出白球后，再摸出白球”,是从装有1个白球、2个 在先摸出白球后，再摸出白球” 是从装有 个白球 个白球、 个 在先摸出白球后

1 个白球， 黑球的口袋中摸出 1 个白球，事件 B 的概率为 ； 32 个白球， 黑球的口袋中摸出 1 个白球，事件 B 的概率为 ； 3

(2)“在先摸出黑球后，再摸出白球”,是从装有2个白球、1个 在先摸出黑球后，再摸出白球” 是从装有 个白球 个白球、 个 在先摸出黑球后

发生与否对事件B发生的概率有影响 (3) 这就是说，事件 发生与否对事件 发生的概率有影响， ) 这就是说，事件A发生与否对事件 发生的概率有影响， 因此事件A与 不相互独立 不相互独立。 因此事件 与B不相互独立。

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次射击比赛， 例1 甲、乙二人各进行 1 次射击比赛，如果 2 人击中目标的概率 都是0.6,计算： 都是 ，计算：

(1) 2 人都击中目标的概率； ) 人都击中目标的概率； 人击中目标的概率； (2)其中恰有 人击中目标的概率； )其中恰有1人击中目标的概率 (3)至少有一人击中目标的概率。 )至少有一人击中目标的概率。 甲射击1次 击中目标”为事件A, 乙射击1 解：(1) 记：“甲射击 次，击中目标”为事件 ，“乙射击 次，击中目标”为事件B, 击中目标”为事件 ， A与B相互独立， 与 相互独立 相互独立， 又A与B各射击 次，都击中目标，就是事件A、B同时发生， 与 各射击1次 都击中目标，就是事件 、 同时发生， 各射击 同时发生 即事件A·B 发生， 发生， 即事件 根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到 根据相互独立事件的概率的乘法公式 得到 P(A B)=P(A) P(B)=

0.6×0.6=0.36 × = 答：两人都击中目标的概率是0.36 两人都击中目标的概率是

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次射击比赛， 例1 甲、乙二人各进行 1 次射击比赛，如果 2 人击中目标的概率 都是0.6,计算： 都是 ，计算：

(1) 2 人都击中目标的概率； ) 人都击中目标的概率； 人击中目标的概率； (2)其中恰有 人击中目标的概率； )其中恰有1人击中目标的概率 (3) 至少有一人击中目标的概率。 ) 至少有一人击中目标的概率。二人各射击1次 恰有1人击中目标 包括两种情况： 人击中目标” 解(2)“二人各射击 次，恰有 人击中目标”包括两种情况： 二人各射击 一种是甲击中，乙未击中(事件 事件A 一种是甲击中，乙未击中 事件 B) 另一种是甲未击中，乙击中 事件 事件ā 发生 发生) 另一种是甲未击中，乙击中(事件 B发生 根据题意，这两种情况在各射击 次时不可能同时发生 次时不可能同时发生， 根据题意，这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件 ā B与A 互斥， 与 互斥， B互斥 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式, 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式 所求的概率是 P(A B)+P(ā B)=P(A) P( B)+P(ā) P(B)=0.48

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乙二人各进行1次射击比赛 如果2人击中目标的概率都 次射击比赛， 例1 甲、乙二人各进行 次射击比赛，如果 人击中目标的概率都 是0.6,计算： ,计算：

(1) 2 人都击中目标的概率； ) 人都击中目标的概率； 人击中目标的概率； (2)其中恰有 人击中目标的概率； )其中恰有1人击中目标的概率 (3)至少有一人击中目标的概率。 )至少有一人击中目标的概率。解(3)解法 两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是 )解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是 P = P( A B) +[P( A B) + P( A B)]

= 0.36 + 0.48 = 0.84 解法2: 解法 ：两人都未击中的概率是

P( A B) = P( A) P(B) = (1 0.6) ×(1 0.6) = 0.4×0.4 = 0.16 至少有一人击中目标的概率是

P =1 P( A B) =1 0.16 = 0.84

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生产一种零件， 例2.生产一种零件，甲车间的合格率是 生产一种零件 甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率是 乙车间的合格率是 97%,从它们生产的零件中各抽取 件，求两次都抽到合格品的概率。 % 从它们生产的零件中各抽取 从它们生产的零件中各抽取1件 求两次都抽到合格品的概率。

件得到合格品为事件A, 解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为事件 ， 设从甲车间生产的零件中抽取 件得到合格品为事件 从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。 从乙车间

抽取一件得到合格品为事件 。 2件都是合格品就是事件 B发生， 件都是合格品就是事件A 发生 发生， 件都是合格品就是事件 又事件A与 相互独立 相互独立， 又事件 与B相互独立， 所以抽到合格品的概率为

P( A B) = P( A) P(B) 96 97 582 = = 100 100 625

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在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关 例3.在一段线路中并联着 个自动控制的常开开关，只要其中有 在一段线路中并联着 个自动控制的常开开关，只要其中有1 个开关能够闭合，线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关闭 个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭 合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率 计算在这段时间内线路正常工作的概率. 合的概率都是 计算在这段时间内线路正常工作的概率 分别记这段时间内开关J 解：分别记这段时间内开关 A、JB、JC能够闭合 JA 为事件A,B,C. 为事件 JB 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互 由题意，这段时间内 个开关是否能够闭合相互 之间没有影响。 之间没有影响。 JC 根据相互独立事件的概率乘法公式这段时间内3 根据相互独立事件的概率乘法公式这段时间内 个开关都不能闭合的概率是

P( A B C) = P( A) P(B) P(C) = [1 P( A)][1 P(B)][1 P(C)] = (1 0.7)(1 0.7)(1 0.7) = 0.027所以这段事件内线路正常工作的概率是

1 P( A B C) = 1 0.027 = 0.973

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还有什么做法？ 还有什么做法？

P(A+ B +C) = P(A B C) + P( A B C) + P( A B C) +P(A B C) + P(A B C) + P( A B C) + P(A B C)

显然太烦

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在一段时间内， 例4.在一段时间内，甲地下雨的概率是 ，乙地下雨的概率是 在一段时间内 甲地下雨的概率是0.2, 0.3,假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算 ，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响， 在这段时间内： 在这段时间内： (1)甲、乙两地都下雨的概率； 甲 乙两地都下雨的概率；

P=0.2×0.3=0.06 × =(2)甲、乙两地都不下雨的概率

P=(1 0.2)×(1 0.3)=0.56 × (3)其中至少有 个地方下雨的概率 其中至少有1个地方下雨的概率 其中至少有 P=1 0.56=0.44

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一个工人看管三台车床， 小时内车床不需要工人照管的 例5.一个工人看管三台车床，在1小时内车床不需要工人照管的 一个工人看管三台车床 概率:第一台等于 ，第二台等于0.8,第三台等于0.7,求在1 概率 第一台等于0.9,第二台等于 ，第三台等于 ，求在 第一台等于 小时内至少有一台车床需要工人照管的概率。 小时内至少有一台车床需要工人照管的概率。

解：设第一、二、三台车床在1小时内不需要工人照管

的 设第一、 三台车床在 小时内不需要工人照管的 事件分别为A、 、 ; 事件分别为 、B、C;在1小时内至少有一台车床需要工 小时内至少有一台车床需要工 人照管的事件为D, 人照管的事件为 ，则 P(D)=1-P(A·B·C) 又由于三台车床在1小时内不需要工人照管的事件是相互 又由于三台车床在 小时内不需要工人照管的事件是相互 独立的， 独立的，所以 P(D)=1-P(A)·P(B)·P(C) =1- 0.9×0.8×0.7=0.496 × × 小时内至少有一台车床需要工人照管的概率为0.496 在 小时内至少有一台车床需要工人照管的概率为 答： 1小时内至少有一台车床需要工人照管的概率为