高等数学(高等教育出版社第六版)(免费)第九章D9习题课ok

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

习题课 多元函数微分法一, 基本概念 二,多元函数微分法 三,多元函数微分法的应用

第九章

目录

上页

下页

返回

结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

一, 基本概念1. 多元函数的定义,极限 ,连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 连续性 方向导数存在 偏导数存在 可微性

目录

上页

下页

返回

结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

f ( x + y , x y ) = x2 y2 + (x + y) , 且 例1. 已知 f (x,) = x,求出 f (x, y)的表达式. 0 解法1 v = x y ,则 解法 令

∴ f (u, v) = 1 (u + v)2 1 (u v)2 + (u) 4 4即

∵ f (x, 0) = x,∴ (x) = x f (x, y) = x ( y +1)解法2 解法 ∵ f (x + y, x y) = (x + y)(x y) + (x + y) 以下与解法1 相同.目录 上页 下页 返回 结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

二,多元函数微分法1. 分析复合结构 显示结构 隐式结构(画变量关系图)

自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 "分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导" 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性目录 上页 下页 返回 结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

例2. 设 有一阶导数或偏导数, 求

其中 f 与F分别具(1999 考研)

解法1 解法 方程两边对 x 求导, 得

d y dz xf ′ + = f + xf ′ dx dx dy dz ′ ′ F2 + F3 = F′ 1 dx dxx f ′ f +x f ′ ′ ′ ′ F2 F′ dz xF′ f ′ x F2 f ′ f F2 1 1 ∴ = = x f ′ 1 ′ dx x f ′ F′ F2 3 ′ F2 F′ 3 ′ (x f ′ F′ + F2 ≠ 0) 3目录 上页 下页 返回 结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

z = x f (x + y) , F(x, y, z) = 0*解法2 方程两边求微分, 得 解法

化简

+ x f ′dy′ + F2 dy消去 dy 即可得

目录

上页

下页

返回

结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

有二阶连续偏导数, 且 u 2u u , . 求 x xy x y z 1 u 解: ′ = f1′ + f3 ( ) x+ y x x t 2 1 u ′′ ′′ ) = f12 + f13 ( x y x+ y xy

例3.设 .

f ′′ + f ′′ + 32 33 ′ 2x cos t 1 + x2 + f3 x+ y

(2xsint + x cos t ) x+ y (x + y) cos t 1 2 (x + y)目录 上页 下页 返回 结束

2

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

练习题1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数

y2 (1) z = x f ( ) x y2 (2) z = f (x + ) x y2 (3) z = f (x , ) x

目录

上页

下页

返回

结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

解答提示: 解答提示 第 1 题

y (1) z = x f ( ) : x

2

= 2y f ′y2 2y3 2y f ′′ ( 2 ) = 2 f ′′ x x

y (2) z = f (x + ) : x2 2y 2y y ′+ ′′ (1 ) 2f f x x x2

2

2y 2y y = 2 f ′ + (1 2 ) f ′′ x x x目录 上页 下页 返回 结束

2

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

y (3) z = f (x , ) : x

2

2y z 2y ′ = 2 f2 + ( x xy x2

y2 ′′ 2 f22 ) x

目录

上页

下页

返回

结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

2. 设 及xy

有连续的一阶偏导数 , 又函数 分别由下两式确定 ,

e xy = 2求( 2001考研 )

e =∫x

xz 0

sin t dt t

du y ex (x z) ′ ′ ′ ] f3 = f1 f2 + [1 答案: 答案 dx x sin(x z)

目录

上页

下页

返回

结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

三,多元函数微分法的应用在几何中的应用 1.在

几何中的应用 在几何中的 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 3. 在微分方程变形等中的应用目录 上页 下页 返回 结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

练习题: 练习题: 1. 在曲面 平面 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 则法线方程为

提示: 提示 设所求点为

y0利用 得

x0

1法线垂直于平面 点在曲面上

y0 x0 1 = = 1 3 1 z0 = x0 y0

x0 = 3 , y0 = 1, z0 = 3目录 上页 下页 返回 结束

高等数学(高等教育出版社第六版)第九章

2. 设

均可微, 且

已知 (x0, y0) 是 f (x, y)

在约束条件(x, y) = 0下的一个极值点, 下列选项正确的是(

D

)

(2006考研) 提示: 提示 设 ()

代入()得

目录

上页

下页

返回

结束