有关有理数与无理数的证明

狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式

本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明

√2代表 根号2

证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程

前提：1、任何有理数均可写成既约分数 p/q (p,q∈Z 且q≠0)

2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数

3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数

命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数

证明：假设命题不成立

设 p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数

X为任意无理数

则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)

X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)

则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾

故假设不成立，命题1成立

命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数

证明：假设命题不成立

设 p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数

X为任意无理数

则 X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0)

X=(p*m)/(q*n)

则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾

故假设不成立，命题2成立

命题3：√2为无理数

证明：假设命题不成立

则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)

2=(p*p)/(q*q)

则p必须是偶数

∵p/q是既约分数

∴q是奇数

∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)

∵2*q*q=p*p

∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n ∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立 故假设不成立，命题3成立

命题4：任何有限小数都是有理数

证明：显而易见~~

下面进入本证明的关键部分

首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function）

f(x)= 1(x为有理数)

0(x为无理数)

命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数 证明：设 p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设 p/q＜m/n

则 m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数

设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq)

则 0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq)

p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n

根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数

∴命题5成立

命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数

证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y

将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数

直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y

去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z

显而易见X＜Z＜Y

Z为有理数，命题6成立

根据命题5、6，

任意有理数都不连续，

任意无理数也都不连续，

根据前提3，

则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续