构造全等三角形种常用方法

构造全等三角形种常用方法

在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：

S(用SSS)

S

A(用SAS) S

A S(用SAS)

A(用AAS或ASA)

搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．

D 1．截长补短法

例1．如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，

求证：AB+BE=AC． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，

由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45º， ∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC． 解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知 △ ABE≌△AGE，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC． 2．平行线法（或平移法）

若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ．

证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC

=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，

∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，

B C P ∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，

∴BD=OD，∴AB+BP=AD+DB+BP

=AQ+OQ+BO=AQ+BQ．

说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，

D

构造全等三角形，即“截长补短法”． ⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： B C P ① 如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，

图（2）

则△ADO≌△ABO来解决．

② 如图（3），过O作DE∥BC交AB于D， B C P

图（3）

交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决． ③ 如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，

则△APD≌△APC来解决． ④ 如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D则△ABP≌△ADP来解决． （本题作平行线的方法还很多，感兴趣

C 的同学自己研究）． C B P P

图（5） 图（4）

3．旋转法

对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。

F分别在正方形ABCD的边BC 例3 如图3所示，已知点E、

与CD上，并且AF平分 EAD，求证：BE DF AE。 分析：本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将 ADF绕点A旋转90 到 ABG，则

AD

F

ADF≌ ABG，BE=DF，从而将BE BG转化为线段GE，

再进一步证明GE AE即可。证明略。

G

B

图 3

E C

4．倍长中线法

题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 例4．如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．

求证：AC=BF 证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=CD，

E ∠BDH=∠ADC，DH=DA，

C ∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF， ∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE= 图（7）

∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF． 5．翻折法

若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．

例5．如图（8）已知：在△ABC中，∠A=45º, AD⊥BC，若BD=3，DC=2， 求：△ABC的面积．

解：以AB为轴将△ABD翻转180º，得到与它全等

的△ABE，以AC为轴将△ADC翻转180º，得到 与它全等的△AFC，EB、FC延长线交于G，易证

F 四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG

=x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3）+（x-2）=5．

222

G

解得x=6，则AD=6，∴S△ABC=

1×5×6=15． 图（8） 2

练习：

例3．已知：如图（6），P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，

A 求∠APB的度数．

分析：直接求∠APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5， 联想到构造直角三角形． 略解：将△BAP绕A点逆时针方向旋转60°至△ACD，连接PD则△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD，∠PAD=60°，

C

又∵PC=5，PD2

+DC2

=PC2

图（6） ∴△PDC为Rt△, ∠PDC=90º∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90º=150º． １、平移法构造全等三角形

例１ 如图１所示，四边形ABCD中，AC平分 DAB，若AB AD，DC BC，求证：

B D 180 。

分析：利用角平分线构造三角形，将 D转移到 AEC，而 AEC与 CEB互补，

CEB从而证得 B D 180 。主要方法是：“线、角进行转移”。 证明：在AB上截取AE AD，

在 ADC与 AEC中，

DC

AD AE

DAC E AC

AC ACA E

B

图１

∴ ADC≌ AEC（SAS） ∴ D AEC,DC CE, ∵ DC BC, ∴ CE BC， ∴ CEB B,

∵ CEB AEC 180 , ∴ B D 180 . ２、翻折法构造全等三角形

例２ 如图２所示，已知 ABC中，AC BC， ACB 90 ，BD平分 ABC，求证：

AB BC CD。

证明：∵ BD平分 ABC，将 BCD沿BD翻折后，点C落在AB上的点E，则有BE 在 BCD与 BED中，

B BC B

E

CBD E BD

BD BD

C

D

A

图 2

BCE ， ，

∴ BCD≌ BED（SAS） ∴ DEA ACB 90 ,CD DE,

∵ 已知 ABC中，AC BC， ACB 90 ， ∴ A 45 ,

∴ EDA A 45 , ∴ DE EA,

∴ AB BE EA BC CD。 3、旋转法构造全等三角形

F分别在正方形ABCD的边BC 例3 如图3所示，已知点E、

与CD上，并且AF平分 EAD，求证：BE DF AE。 分析：本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将 ADF绕点A旋转90 到 ABG，则

AD

F

ADF≌ ABG，BE=DF，从而将BE BG转化为线段GE，

再进一步证明GE AE即可。证明略。 4、延长法构造全等三角形

例4 如图4所示，在 ABC中， ACB 2 B，

G

B

图 3

E C

A

BAD DAC，求证：AB AC CD。

分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等

B D图 4

E

E AB，构造 ABD于另一条短线段。本题可延长AC至E，使A

≌ AED，然后证明CE CD，就可得AB AC CD。 5、截取法构造全等三角形

例5 如图5所示，在 ABC中，边BC上的高为AD，又 B 2 C，求证：CD AB BD。 分析：欲证明CD AB BD，可以在CD上截取一线段等于BD，再证明另一线段等于AB。如果截取DE BD（如图所示），则 ADE可认为而 ADB沿AD翻折而来，从而只需证明CE AE即可。 证明略。

A

B D E

图 5

C