九年级下数学教案5

28.1解直角三角形应用（一）

主备:黄蓉

一、 教学目标:

二、 1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 三、 2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

四、 教学重点、难点和疑点 : 五、 重点：直角三角形的解法．

六、 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

七、 疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 教学过程 一.

回顾与思考

1．在Rt△ABE中，∠C=90°，BC= a,AC=b,AB=c,则 SinA＝，， ， ， 。

2．三角形由哪些元素组成?你能说出它们具有的性质吗? 二.

想一想

问题：

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子

与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？

问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．

问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜边

AB＝6，求∠A的对边BC的长．

(1)

(2)

对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数 三、探究

在图中的Rt△ABC中，

（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？

（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？

什么是解直角三角形:

解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．

(1) 边角之间关系

aba sinA=c cosA=c tanA=b

(2) 三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理)

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． 四、如何解直角三角形

例1 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 2 a=6，解这个三角形．

例2 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 B=350，解这个三角形（精确到0.1）．

(解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．)

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 五、 巩固练习

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B＝72°，c = 14. 六、课堂小结

请学生小结：

元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素． 2解决问题要结合图形。

七、布置作业 p96 第1，2题 教后反思

1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个

解直三角形应用（二）

主备:黄蓉

教学目标

1. 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．

2. 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 教学重点、难点:

重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三

角形中元素之间的关系，从而解决问题． 难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 教学过程 一. 回顾与思考

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；

（1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B＝72°，c = 14.

在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系： (1)勾股定理：a2+b2=c2

(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系：

A的对边

斜边 A的对边

tanA= A的邻边 sinA

cosA

A的邻边斜边

二. 测量中的最远点问题

例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）

分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．

如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点

Q是从飞船观测地球时的最远点.PQ的长就是地面上P、Q两点间的距

离，为计算 PQ 的长需先求出∠POQ（即a）

三.仰角与俯角

例

4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为

30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）

分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，a=30°,β=60°，在Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出

BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．

四、练习

1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）

(1)

(2)

2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m） 五、课后反思:

本节课你学到了什么？ 六、作业:

课本p96 第 3，.4题 教后反思

解直三角形应用（三）

主备:黄蓉

教学目标:

1. 使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识． 教学重点、难点

重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 教学过程 一. 回顾与思考

1. 测量高度时,仰角与俯角有何区别? 2. 解答下面的问题

如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC

二. 想一想

利用解直角三角形的方法解决实际问题时应注意什么？ 三. 合作探究

例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔

P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？

四. 拓广与探究

化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l

与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？

我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，

注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1

.

在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2, ,hn,然后我们再“积零为整”，把

h1,h2, ,hn相加，于是得到山高h.

以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 五. 归纳:

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 六. 练习

1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群

由西向到航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的

铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求： （1）坡角a和β;

（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）

七. 课后小结

本节课你学到了什么？ 八. 作业

P92页第5，6题 教后反思

第28章 锐角三角函数小结

教学目标

1. 进一步体会，巩固锐角三角函数的意义.

2. 熟练解直角三角形并能运用其解决相关的实际问题.

3.梳理本章所学内容，了解本章知识结构图，建立自己的知识架构体系.

教学重点：巩固基础知识，梳理本章内容 教学难点：灵活运用解三角形的知识解决实际问题 教学流程： 一、回顾与思考

1.什么是锐角三角函数？

2.什么叫做解直角三角形？解直角三角形的根据是什么？ 3.在直接三角形中，已知几个元素就可以解直角三角形？ 4.你会计算并记住特殊角的锐角三角函数值吗？

5.试说说如何锐角三角函数解决实际问题 二、 小结

你能试着画出本章知识结构图吗？

三、典型例题

2cos60

;

2sin30 2

（2）sin45 cos30 -sin60°（1-sin30°）．

3 2cos60

例1 （1）

（3）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°

·tan30°

例2 根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角.

(1)BC=8，∠B=60°.(2)AC=2，AB=2

例3 如图在⊿ABC中,∠A=30°,tanB=

例3 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

A

,AC=2,求AB 2

例4如图，从地面上C、D两处望山顶A，

仰角分别是300，450，若C、D两处相距200米， 则山高AB高为 ；

B D C

四、练习 备用练习题及答案

1．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（ ）． A．45 B．5 C． D．

3

4

15

1 45

13

2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若cotA=，则cosA等于（ ）． A． B． C． D．

3．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B之间的距离应为（ ）． A．15sin50°米 B．15cos50°米； C．15tan50°米 D．15cot50°米

A

C

a4

5354334

B

http://

(第3题) (第6题) (第7题)

4．如果sin2a+sin230°=1，那么锐角a的度数是（ ）． A．15° B．30° C．45° D．60° 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若

sinA= A．

，则cosB的值为（ ）． 2

1 B

． C．

D．1

22

6．如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方

向上取点C， 测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（ ）．

A．a·sina B．a·cosa C．a·tana D．a·cota 7．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．若AC=4，BC=3，则sin∠ACD的值为（ ）．

A． B． C． D．

8．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是（ ）．

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 9．在△ABC中，sinB=cos（90°-C）= A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（ ）． A．sinA=

12121212

B．cosA= C．tanA= D．cotA= 513513

43344535

1

，那么△ABC是（ ）． 2

11．如图，为测楼房BC的高，在距离房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC 的高为（ ）．

A．30tanα米 B．

C

30

tan30

C.30sin 米

C

D.

30

米 sin

B

http://

B

(第11题) (第12题) 12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC

上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）． A

．2 C．1 D．

二、填空题．

13．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B′，且BP=2， 那么PP′的长为________．

（不取近似值，以下数据供解题使用：sin15°

）

1

5

(第13题) (第14题) (第21题)

14．如图，沿倾斜角为33°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（精确到0.01m）

15．sin30°=________．

16

°=________．（精确到0.01） 17．若圆周角α所对弦长为sinα，则此圆的半径r为_______． 18．锐角A满足2sin（A-15°）

A=________． 19．计算：3tan30°+cot45°-2tan45°-2cos60°=_________． 20．已知A是锐角，且sinA=，则cos（90°-A）=________． 21．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下

1

3