同济大学微积分第三版课件第三章第九节

第九节 定积分的物理应用举例

本节要点定积分的一个重要应用就是在物理上的应用. 本节重 定积分的一个重要应用就是在物理上的应用 点讨论定积分在物理学上的应用. 主要内容有: 点讨论定积分在物理学上的应用 主要内容有 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力

一、变力沿直线所作的功从物理学中知道, 从物理学中知道 如果物体在作直线运动的过程中受 的作用, 并且力作用的方向与位移的方向一致, 到常力 F 的作用 并且力作用的方向与位移的方向一致 则当物体移动了距离 s 时, 力F 对物体所作的功为

W = F s.F

s

如果物体在运动过程中受到变力的作用, 如果物体在运动过程中受到变力的作用 如何求出相 应的功？ 应的功？

问题的分析: 的作用下, 问题的分析 设质点在变力F 的作用下 由点a 位移到 在位移过程中, 处时, 点 b. 在位移过程中 设质点从 x 移到 x + dx 处时 当dx 很小时, 为常力, 很小时 视 F为常力 则相应的功为

dW = F dx.因而当质点在整个位移过程中所作的总功为

W = ∫ F dx.a

b

F

a

b

x

例1

把一个带电量为 + q 的点电荷放在r 轴的坐标原

它产生一个电场, 并对周围的电荷产生作用力. 点 O 处, 它产生一个电场 并对周围的电荷产生作用力 由物理学知道, 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中

q 的地方, 离原点 O 为 r的地方 那么电场对它的作用力为F = k 2 r是常数) ( k 是常数). 当这个单位正电荷从电场从r 移动到 r

= b 处 ( a < b ) 时,

= a 处沿r

所作的功. 求电场力 F 所作的功

+qO

a

b

r

为积分变量, 解 取 r 为积分变量 在[ a, b ] 区间中取一小区间 对 它所作的功近似于

[ r , r + dr ] , 当单位电荷从r 移动到 r + dr 时,kq dr , 2 r

电场力

从而功元素为

kq dW = 2 dr. r于是所求的功为

W =∫

b

a

kq 1 1 1 dr = kq = kq . 2 r r a a b

b

有一弹簧, 的力可以将它拉长0.01m, 现将弹 例2 有一弹簧 用5N的力可以将它拉长 的力可以将它拉长 簧拉长至0.1m, 求力作的功 求力作的功. 簧拉长至 由物理学知道, 在弹性限度范围内, 解 由物理学知道 在弹性限度范围内 使弹簧产生伸缩 的力, 它的大小与伸缩量成正比. 的力 它的大小与伸缩量成正比 因此当弹簧伸缩了x m 时, 相应力的大小为 当x

= 0.01( m ) 时, 有F = 5 ( N ) ,因此微功为: = 500. 因此微功为

F ( x ) = kx.

从而 k

x

dW = 500 xdx.因此外力所做的功为

W = ∫ 500 xdx = 2.5 ( J ) .0.1 0

内燃机动力的产生可简化为如下的模型: 例3 内燃机动力的产生可简化为如下的模型 把汽缸 看作为一个圆柱形容器, 看作为一个圆柱形容器 在圆柱形容器中盛有一定

的气 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 体, 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活 塞从一点处推移到另一点处, 塞从一点处推移到另一点处 经过一定的机械装置将活塞 塞的这直线运动的动力传播 出去, 出去 如果活塞的面积为 S , 计算活塞从点a 移到点 b的 过程中气体压力所作的功. 过程中气体压力所作的功

x

b

aO

取坐标系如图所示, 来表示, 解 取坐标系如图所示 活塞的位置用坐标x 来表示 由 物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强 p与体积

V

的乘积是常数 k , 即有

因 V = xS , 所以

pV = k .x

k p= . xS

于是作用在活塞上的力为

b

k F = pS = . x

aO

为积分变量, 取x 为积分变量 则功元素为

k dW = dx, x因而总功为

W =∫

b

a

k b dx = k ln . x a

x

b

x +dx x a

O

一圆柱形蓄水池高5米 底半径为3米 例4 一圆柱形蓄水池高 米, 底半径为 米, 池内盛满了 要把池内的水全部吸出, 需作多少功？ 水, 要把池内的水全部吸出 需作多少功？ 解 建立坐标系如图

o x x + dx 5 x

x ∈ [ 0,5]. 取代表性的一个小区间 [ x, x + dx ] ,为积分变量, 取x 为积分变量 则这一层薄水的重力为

dG = 9.8dV = 9.8πR 2 dx = 9.8π 32 dx,因而功元素为

dW = 88.2π x dx,于是所作的功为

x W = ∫ 88.2π x dx = 88.2π ≈ 3462 ( KJ ) . 0 2 05 2

5

一圆台形水池, 下口径分别为20m和 例5 一圆台形水池 深15m, 上、下口径分别为 和 10m, 问将满池的水全部抽尽需要作多少功 问将满池的水全部抽尽需要作多少功? 建立坐标系统如图: 解 建立坐标系统如图

度为 dx 的圆台体积近似为 的圆台体积近似为:2

1 为积分变量, 取 x为积分变量 在 x 处, 相应的圆半径为10 x, 则厚 3 10

1 dV = π 10 x dx. 3 因此, 的一层薄水抽出, 因此 把厚度为 dx 的一层薄水抽出

x

x + dx5

15

x