河北省石家庄市2015届高三下学期二模考试数学文试题含答案

2015届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷

数学（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合{1,0,1,2,3},{2,0}M N =-=-，则下列结论正确的是

A ．N M ⊆

B ．M N N =

C ．M N M =

D ．{}0M N =

2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是

A ．2x y -=

B ．tan y x =

C ．3y x =

D ．3log y x =

3、已知复数z 满足2015(1)i z i

--(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A ．12 B ．12- C ．12i D ．12

i - 4、等比数列{}n a 为等差数列，且17134a a a ++=，则212a a +的值为

A ．43

B ．83

C ．2

D ．4 5、设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩

，则目标函数23z x y =+的最小值为

A ．6

B ．7

C ．8

D ．23

6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为

A ．536

B ．16

C ．215

D ．112 7、在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半 轴重合，终边过点(3,1)P --，则sin(2)2π

α-=

A ．32

B ．32-

C ．12

D ．12

- 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A ．103

B ．53

C ．203

D ．4

9、执行右下方的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S 的值为

A ．1111234+

++ B ．1111232432

+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 10、在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====， 则该四面体的外接球的表面积为

A ．11π

B ．7π

C ．

103π D ．403π 11、已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象

限内的零点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是

A ．3

B ．32

C ．33

D ．233

12、已知函数()11(,2)2(2)[2,)

x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，设方程()122x f x -=的根从小到大依次为12,,,,,n x x x n N *∈，则数列{()}n f x 的前n 项和为

A ．2n

B ．2n n +

C ．21n -

D ．12

1n +-

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

13、已知向量(2,1),(,1)a b x ==-，且a b -与b 共线，则x 的值为

14、函数()3

sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为 15、已知条件2:340p x x --≤；条件22

:690q x x m -+-≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是

16、15、设点P 、Q 分别是曲线(x y xe e -=是自然对数的底数）和直线3y x =+上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos (2)cos()b A c a B π=+-

（1）求角B 的大小；

（2）若4,b ABC =∆的面积为3，求a c +的值。

18、（本小题满分12分）

4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”

（1）求x 的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（经频率视为频率）

（2）根据已知条件完成下面22⨯的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？

19、（本小题满分12分）

已知PA ⊥平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====。

（1）求证：CD ⊥平面ADP ；

（2）若M 为线段PC 上的点，当BM PC ⊥时，求三棱锥B APM -的体积。

20、（本小题满分12分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>经过点3(1,)2，离心率为32。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）不垂直与坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，以AB 为直径的圆过原点，且线段

AB 的垂直平分线交y 轴于点3(0,)2

P -，求直线l 的方程。

21、（本小题满分12分）

已知函数()2,(x

f x e x e =--是自然对数的底数)。 （1）求函数()f x 的图象在点(0,1)A -处的切线方程；

（2）若k 为整数，且当0x >时，()(1)10x k f x x '-+++>恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值。

请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图：O 的直径AB 的延长线于弦CD 的延长线相交于 点P ，E 为O 上一点，,AE AC DE =交AB 于点F 。

（1）求证：,,,O C D F 四点共圆；

（2）求证：PF PO PA PB ⋅=⋅.

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程122(32

x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）

，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=。

（1）直线l 的参数方程化为极坐标方程；

（2）求直线l 的曲线C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+。

（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；

（2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。

2015年石家庄市高三数学第二次模拟考试

（文科答案）

一、选择题：

1-5 DCABB 6-10 ADBBC 11-12 DC

二、填空题：

13. -2 14.2π

15.44

m m ≥≤-或 16.223 三、解答题：

17． 解: （Ⅰ） ()cos (2)cos b A c a B π=+-

cos (2)cos b A c a B ∴=--…………………………1分

sin cos (2sin sin )cos B A C A B ∴=--…………………………3分 sin()2sin cos A B C B ∴+=-

∴ 1cos 2B =-

…………………………5分 ∴ 23

B π=…………………………6分 (Ⅱ) 由1=sin 32

ABC S ac B ∆=得a c ＝4…………………………8分. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2+ac 216(+ )ac a c -==…………………10分 ∴ a ＋c 25=…………………………12分

18.解：(Ⅰ)由已知可得：（0.01+0.02+0.03+x+0.015）*10=1, 可得x=0.025

……………………2分

因为（ 0.025+0.015）*10=0.4，将频率视为概率，由此可以估算出全校3000名学生中读书迷大概有1200人 ……………………4分

(Ⅱ) 完成下面的22⨯列联表如下

非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55

女 20 25 45 合计

60 40 100

……………………8分 2

2

100(40251520)60405545K ⨯-⨯=⨯⨯⨯≈8.249 ……………………10分 ** > 6.635，

故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关。 ……………………12分

19. (1)证明：

因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ADP ，

所以平面ADP ⊥平面ABCD. ………………………………2分 又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，

所以CD ⊥平面ADP. ………………………………………4分

(2)取CD 的中点F ，连接BF ，

在梯形ABCD 中，因为CD=4，AB=2，

所以BF ⊥CD.

又BF=AD=4，所以BC=52.

在∆ABP 中，由勾股定理求得BP=52.

所以BC=BP. ………………………………………………………7分 又知点M 在线段PC 上，且BM ⊥PC ，

所以点M 为PC 的中点. ………………………………………9分 在平面PCD 中过点M 作MQ ∥DC 交DP 于Q ，连接QB ，QA ， 则APQ B APB Q APB M APM B —三棱锥—三棱锥—三棱锥—三棱锥V V V V ====.382)2421(31=⨯⨯⨯⨯……12分

文20．解：（Ⅰ）由题意得22

3=21314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2

214

x y +=． …………… 4分 （Ⅱ）设直线l 的方程设为y kx t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立2214

y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(14)8440k x ktx t +++-= 则有122

814kt x x k -+=+，21224414t x x k -=+ …………… 6分 22041k t ∆>⇒+>

12121222()214t y y kx t kx t k x x t k +=+++=++=+ ()()()22

12121212y y kx t kx t k x x kt x x t =++=+++2222

22224244444t kt t k k kt t k k k ---⎛⎫=++= ⎪+++⎝⎭ 因为以AB 为直径的圆过坐标原点，所以121200OA OB x x y y =⇒+=

222

2212122244405441414t t k x x y y t k k k

--+=+=⇒=+++ …………… 8分 22041k t ∆>⇒+>⇒32t <-或32t >， 又设,A B 的中点为(),D m n ，则1224214x x kt m k +-==+，122214y y t n k +==+ 因为直线PD 于直线l 垂直，所以312

PD n k k m

--=-=-得21142t k =+ ………… 10分 由2221142544t k t k ⎧=⎪+⎨⎪=+⎩解得12135t t =⎧⎪⎨=-⎪⎩，

当35

t =-

时，0∆>不成立. 当1t =时，12

k =±， 所以直线l 的方程为112y x =+或112y x =-+.… 12分

解法二

（Ⅱ）设直线l 的斜率为k ，设1122(,),(,)A x y B x y ，,A B 的中点为()00,D x y ， 所以1212y y k x x -=- ，1

202x x x +=，1202

y y y += 由题意221122221(1)41(2)4

x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， (1)式(2)-式得()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=⇒

()()()()

12121212104y y y y x x x x -++=⇒-+00104y k x += 又因为直线PD 与直线l 垂直，所以00321y k x +

=- 由0000

104321y k x y k x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩解得00122y x k ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ …………… 6分

设直线l 的方程设为()200122

y y k x x y kx k -=-⇒=++， 联立22212214y kx k x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()()22222(14)414140k x k k x k +++++-=

12024x x x k +==-，()2

212241414k x x k +-=+

12y y ()()2222222241412412142k k k k k k +-⎛⎫=-+++ ⎪+⎝

⎭=2222142424k k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+ 因为以AB 为直径的圆过坐标原点，所以1212000A OB x x y y =⇒+=

()()()22222222121222142441420541161144k k k x x y y k k k k

⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭+=+=⇒+=+++ 解得12

k =±， 所以直线l 的方程为112y x =

+或112

y x =-+.... 12分 21.解析：（1）()2,x f x e x x R =--∈，/()1,x f x e x R =-∈， . (2)

分

/(0)0f = 曲线()f x 在点)1,0(-A 处的切线方程为 1.y =- ………………4分

（2）当0>x 时，10x e ->，所以不等式可以变形如下：

/1(1)()10(1)(1)1011x x x x k f x x x k e x k x e +-+++>⇔-+-++>⇔<

++-

①.................6分

令()111x x g x x e +=++-，则()()()

.1)2(11122/---=+---=x x x x x e x e e e xe x g 函数2)(--=x e x h x 在()+∞,0上单调递增，而.0)2(,0)1(><h h

所以)(x h 在()+∞,0上存在唯一的零点，故)(/x g 在()+∞,0上存在唯一的零点. 设此零点为α，则()2,1∈α.

当()α,0∈x 时，0)(/<x g ；当()+∞∈,αx 时，0)(/>x g ；

所以，)(x g 在()+∞,0上的最小值为)(αg .由,0)(/=αg 可得

,2+=ααe ....................10分

所以，()()23,4.g αα=+∈由于①式等价于)(αg k <.

故整数k 的最大值为

3. .................12分

22．解析：（1）连接OC ，OE ，

因为AE AC =，所以12AOC AOE COE ∠=∠=∠，.................2分 又因为12

CDE COE ∠=∠， 则AOC CDE ∠=∠，

所以,,,O C D F 四点共圆.………………5分

（2）因为PBA 和PDC 是O 的两条割线，

所以PD PC PA PB =⋅，……………7分

因为,,,O C D F 四点共圆,

所以PDF POC ∠=∠，又因为DPF OPC ∠=∠，

则PDF ∆∽POC ∆，

所以PD PF PO PC

=，即PF PO PD PC =⋅ 则PF PO PA PB =⋅.………………10分

23．解析：（1）将直线:l 12232

x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，化为普通方程

3230x y --=，……………………2分

将cos sin x y ρθρθ

=⎧⎨=⎩代入3230x y --=得3cos sin 230ρθρθ--=.…………4分 （2）方法一：C 的普通方程为2240x y x +-=.………………6分

由22323040x y x y x ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得：13x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或33

x y =⎧⎪⎨=⎪⎩………………8分 所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,

)3π ，(23,)6π.………………10分 方法二：由3cos sin 2304cos ρθρθρθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩

，……………6分 得：sin(2)03π

θ-=，又因为0,02ρθπ≥≤<………………8分 所以253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或236ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩

所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π ，(23,)6

π.………………10分 24．解析：（1）当1a =时，|21||21|2x x x -++≤+

1242

x x x ⎧≤-⎪⇒⎨⎪-≤+⎩无解， 111022222

+x x x ⎧-<<⎪⇒≤<⎨⎪≤⎩， 11222342

x x x x ⎧≥⎪⇒≤≤⎨⎪≤+⎩………………………3分 综上，不等式的解集为2{0}3

x x ≤≤.………………5分

（2）|2||21|2x a x x -++≥+，转化为|2||21|20x a x x -++--≥ 令()|2||21|2h x x a x x =-++--， 因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩

， ………………8分

在a>0下易得min ()12a h x =-,令10,2a -≥a 得 2.a ≥a ………………10分