二次函数中以三角形为主的中考压轴题(等腰三角形、直角三角形、相似三角形

九年级数学专项训练《二次函数》

二次函数中以三角形为主的中考压轴题（等腰三角形、直角

三角形、相似三角形）问题解析精选

【例1】．（2013 抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物

线y=﹣x+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；

（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

2

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得 解得 ，

,

∴ 抛物线的解析式为 y=﹣x ﹣2x+3; (2) 如图 1, 设第三象限内的点 F 的坐标为 (m, ﹣m ﹣2m+3) , 则 m<0, ﹣m ﹣2m+3 <0. 2 2 ∵ y=﹣x ﹣2x+3=﹣(x+1) +4, ∴ 对称轴为直线 x=﹣1,顶点 D 的坐标为(﹣1,4) , 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G,连接 FG,则 G(﹣1,0) ,AG=2. ∵ 直线 AB 的解析式为 y=x+3, ∴ 当 x=﹣1 时，y=﹣1+3=2, ∴ E 点坐 标为(﹣1,2) . ∵ S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG= ×2×2+ ×2×(m +2m﹣3)﹣ ×2×(﹣1﹣m)=m +3m, ∴ 以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3 时，m +3m=3, 解得 m1= 当 m= ∴ 点 F 的坐标为( ,m2=2 2 2 2 2 2

2

(舍去) ,2

时，﹣m ﹣2m+3=﹣m

﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m= , ) ;

,

(3)设 P 点坐标为(﹣1,n) . ∵ B(0,3) ,C(1,0) , ∴ BC =1 +3 =10. 分三种情况： ① 如图 2,如果∠ PBC=90°,那么 PB +BC =PC , 2 2 2 2 即(0+1) +(n﹣3) +10=(1+1) +(n﹣0) , 化简整理得 6n=16,解得 n= , ∴ P 点坐标为(﹣1, ) , ∵ 顶点 D 的坐标为(﹣1,4) , ∴ PD=4﹣ = , ∵ 点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴ t1= ; ② 如图 3,如果∠ BPC=90°,那么 PB +PC =BC , 2 2 2 2 即(0+1) +(n﹣3) +(1+1) +(n﹣0) =10, 2 化简整理得 n ﹣3n+2=0,解得 n=2 或 1, ∴ P 点坐标为(﹣1,2)或(﹣1,1) ,第2页2 2 2 2 2 2 2 2 2

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∵ 顶点 D 的坐标为(﹣1,4) , ∴ PD=4﹣2=2 或 PD=4﹣1=3, ∵ 点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴ t2=2,t3= 3; 2 2 2 ③ 如图 4,如果∠ BCP=90°,那么 BC +PC =PB , 2 2 2 2 即 10+(1+1) +(n﹣0) =(0+1) +(n﹣3) , 化简整理得 6n=﹣4,解得 n=﹣ , ∴ P 点坐标为(﹣1,﹣ ) , ∵ 顶点 D 的坐标为(﹣1,4) , ∴ PD=4+ = ,

∵ 点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， ∴ t4= ; 秒时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三

综上可知，当 t 为 秒或 2 秒或 3 秒或 角形.

第3页

【例2】．（2013 大连）如图，抛物线y=﹣

x+

2

x﹣4与x轴相交于点A、B，与y轴相

交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．

（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形； （2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；

（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．

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∴ MD=ME,即△ MDE 是等腰三角形. (2)答：能. 抛物线解析式为 y=﹣ x +2

x﹣4=﹣ (x﹣3) +

2

,

∴ 对称轴是直线 x=3,M(3,0) ; 令 x=0,得 y=﹣4,∴ C(0,﹣4) . △ MDE 为等腰直角三角形，有 3 种可能的情形： ① 若 DE⊥ EM, 由 DE⊥ BE,可知点 E、M、B 在一条直线上， 而点 B、M 在 x 轴上，因此点 E 必然在 x 轴上， 由 DE⊥ BE,可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在； ② 若 DE⊥ DM,与① 同理可知，此种情况不存在； ③ 若 EM⊥ DM,如答图 2 所示：

设直线 PC 与对称轴交于点 N, ∵ EM⊥ DM,MN⊥ AM,∴ ∠ EMN=∠ DMA. 在△ ADM 与△ NEM 中，

∴ △ ADM≌ △ NEM(ASA) , ∴ MN=MA. 抛物线解析式为 y=﹣ x +2

x﹣4=﹣ (x﹣3) +

2

,故对称轴是直线 x=3,

∴ M(3,0) ,MN=MA=2, ∴ N(3,2) . 设直线 PC 解析式为 y=kx+b,∵ 点 N(3,2) ,C(0,﹣4)在抛物线上， ∴ ,解得 k=2,b=﹣4,∴ y=2x﹣4.2

将 y=2x﹣4 代入抛物线解析式得：2x﹣4=﹣ x +

x﹣4,

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解得：x=0 或 x= , 当 x=0 时，交点为点 C;当 x= 时，y=2x﹣4=3. ∴ P( ,3) . 综上所述，△ MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为( ,3) .

(3)答：能. 如答题 3 所示，设对称轴与直线 PC 交于点 N. 与(2)同理，可知若△ MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M.

∵ MD⊥ ME,MA⊥ MN,∴ ∠ DMN=∠ EMB. 在△ DMN 与△ EMB 中，

∴ △ DMN≌ △ EMB(ASA) , ∴ MN=MB. ∴ N(3,﹣2) . 设直线 PC 解析式为 y=kx+b,∵

点 N(3,﹣2) ,C(0,﹣4)在抛物线上， ∴ ,解得 k= ,b=﹣4,∴ y= x﹣4.2

将 y= x﹣4 代入抛物线解析式得： x﹣4=﹣ x + 解得：x=0 或 x= , 时，y= x﹣4=

x﹣4,

当 x=0 时，交点为点 C;当 x= ∴ P( , ) .

.

第7页

2

【例3】．（2013凉山州）如图，抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐

标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A

两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

2

分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长； （3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．

2

解答：解：（1）∵抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4）， ∴

，解得

2

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x+x+4； （2）设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵A（3，0），点C（0，4）， ∴

，解得

，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4． ∵点M的横坐标为m，点M在AC上， ∴M点的坐标为（m，﹣m+4），

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x+x+4上， ∴点P的坐标为（m，﹣m+m+4），

∴PM=PE﹣ME=（﹣m+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m+4m， 即PM=﹣m+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m+m+4﹣4=﹣m+m．

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，

即（﹣m+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=

．

22

2

2

2

2

2

2

∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF． 在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM为直角三角形； ②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM， 即m：（3﹣m）=（﹣m+m）：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=1． ∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF． ∴CP=CM， ∴△PCM为等腰三角形．

2

综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为形或等腰三角形．

或1，△PCM为直角三角

点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．

【例4】．（2013 本溪）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A

在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD． （1）求抛物线的解析式；

（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标； （3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．

2

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分 (1)求出点 A、C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； 析：(2)如答图 1 所示，关键是求出 MG 的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的点 M 有 2 个，不要漏解； (3)△ DPQ 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论： ① 若 PD=PQ,如答图 2 所示； ② 若 PD=DQ,如答图 3 所示； ③ 若 PQ=DQ,如

答图 4 所示. 解 解： (1)∵ 矩形 ABCD,B(5,3) , 答：∴ A(5,0) ,C(0,3) . ∵ 点 A(5,0) ,C(0,3)在抛物线 y= x +bx+c 上，2

∴

,解得：b=2

,c=3. x+3.

∴ 抛物线的解析式为：y= x

(2)如答图 1 所示， ∵ y= x2

x+3= (x﹣3) ﹣

2

,

∴ 抛物线的对称轴为直线 x=3. 如答图 1 所示，设对称轴与 BD 交于点 G,与 x 轴交于点 H,则 H(3,0) .

令 y=0,即 x

2

x+3=0,解得 x=1 或 x=5.

∴ D(1,0) ,∴ DH=2,AH=2,AD=4. ∵ tan∠ ADB= ∴ G(3, ) . ∵ S△MBD=6,即 S△MDG+S△MBG=6, ∴ MG DH+ MG AH=6, = ,∴ GH=DH tan∠ ADB=2× = ,

第 11 页

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即： MG×2+ MG×2=6, 解得：MG=3. ∴ 点 M 的坐标为(3, )或(3, ) .

(3)在 Rt△ ABD 中，AB=3,AD=4,则 BD=5,∴ sinB= ,cosB= . 以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则： ① 若 PD=PQ,如答图 2 所示： 此时有 PD=PQ=BQ=t,过点 Q 作 QE⊥ BD 于点 E, 则 BE=PE,BE=BQ cosB= t,QE=BQ sinB= t, ∴ DE=t+ t= t. 由勾股定理得：DQ =DE +QE =AD +AQ , 即( t) +( t) =4 +(3﹣t) , 整理得：11t +6t﹣25=0, 解得：t= ∴ t= ; 或 t=﹣5(舍去) ,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

② 若 PD=DQ,如答图 3 所示： 此时 PD=t,DQ=AB+AD﹣t=7﹣t, ∴ t=7﹣t, ∴ t= ; ③ 若 PQ=DQ,如答图 4 所示： ∵ PD=t,∴ BP=5﹣t; ∵ DQ=7﹣t,∴ PQ=7﹣t,AQ=4﹣(7﹣t)=t﹣3. 过点 P 作 PF⊥ AB 于点 F,则 PF=PB sinB=(5﹣t)× =4﹣ t,BF=PB cosB=(5﹣t)× =3 ﹣ t.

第 12 页

【例5】．（2013 衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=

﹣1．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形； ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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(2)① 当四边形 OMPQ 为矩形时，满足条件 OM=PQ,据此列一元二次方程求解； ② △ AON 为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算. 2 解答：解： (1)根据题意，设抛物线的解析式为：y=a(x+1) +k, ∵ 点 A(1,0) ,B(0,3)在抛物线上， ∴ ,

解得：a=﹣1,k=4, ∴ 抛物线的解析式为：y=﹣(x+1) +4. (2)① ∵ 四边形 OMPQ 为矩形， ∴ OM=PQ,即 3t=﹣(t+1) +4, 2 整理得：t +5t﹣3=0, 解得 t= ∴ 当 t= ,由于 t= <0,故舍去，2 2

秒时，四边形 OMPQ 为矩形；

② Rt△ AOB 中，OA=1,OB=3,∴ tanA=3. 若△ AON 为等腰三角形，有三种情况：

(I)若 ON=AN,如答图 1 所示： 过点 N 作 ND⊥ OA 于点 D,则 D 为 OA 中点，OD= OA= , ∴ t= ; (II)若 ON=OA,如答图 2 所示： 过点 N 作 ND⊥ OA 于点 D,设 AD=x,则 ND=AD tanA=3x,OD=OA﹣AD=1﹣x, 在 Rt△ NOD 中，由勾股定理得：OD +ND =ON , 即(1﹣x) +(3x) =1 ,解得 x1= ,x2=0(舍去) , ∴ x= ,OD=1﹣x= , ∴ t= ; (III)若 OA=AN,如答图 3 所示： 过点 N 作 ND⊥ OA 于点 D,设 AD=x,则 ND=AD tanA=3x,第 14 页2 2 2 2 2 2

【例6】．已知函数y kx2 2x 3（k是常数）

⑴若该函数的图像与x轴只有一个交点，求k的值；

⑵若点M 1,k 在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数y kx 2x 都

2

是y随x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

⑶设抛物线y kx 2x 3与x轴交于A x1,0 ,B x2,0 两点，且x1 x2，x12 x22 1，

2

在y轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由。

解析：

3

的图像与x轴只有一个交点………………2分 23322

②当k 0时，若函数y kx 2x 的图像与x轴只有一个交点，则方程kx 2x 0

22322

有两个相等的实数根，所以( 2) 4k 0，即k .

23

2

综上所述，若函数的图像与x轴只有一个交点，则k的值为0或………………..4分

3

m

（2）设反比例函数为y ，

x

mk则k ，即m k.所以，反比例函数为y

1x

解：(1)①当k 0时，函数y 2x

要使该反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，则k 0…..………….5分

2

二次函数y kx 2x

31131

k(x )2 的对称轴为x ，要使二次函数2kk2k

3

y kx2 2x 是y随着x的增大而增大，在k 0的情况下，x必须在对称轴的左边，即

2

1

x 时，才能使得y随着x的增大而增大. …………………………………………..6分

k

∴综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，

1

k 0且x ……………………………………………………………………………….7分

k

3322

(3)∵抛物线y kx 2x 与x轴有两个交点，∴一元二次方程方程kx 2x 0的判

22322

别式 ( 2) 4 k 0,即k

23

2

x x 12k,

3

,∴k2 3k 4 0， 又∵ x1x2 2k

x12 x22 1.

∴

k 4

或

k 1

.又

k

23

，∴

k 4..……………………………………………............8分

在y轴上，设P(0,b)是满足条件的点，则(b2 x12) (b2 x22) (x2 x1)2，b2 x1x2，

∴b

6.∴b .

44

3722

(x2 x1)2 2b2 x1 x2 2 1 .

∴x2 x1

842……………………..9分

∴SRt ABP

11. (x2 x1) b

2216

∴在y轴上，存在点P1(0,

6),P2(0, ),使 ABP是直角三角形，

ABP的面积为44

…………………………………………………………………………………………10分

2

【例7】．（2013 张家界）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为

Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．