【数学】第一章《导数及其应用》综合测试(苏教版选修2-2)

高中苏教选修（2-2）第1章导数及其应用综合测试

一、选择题

1．直线运动的物体，从时刻t到t t时，物体的位移为 s，那么limA．从时刻t到t t时，物体的平均速度 B．该物体在t时刻的瞬时速度 C．当时刻为 t时该物体的速度

D．从时刻t到t t时位移的平均变化率 答案：B

2．曲线y x 3x上切线平行于x轴的点的坐标是（ ） A．( 1，2)

B．(1， 2)

C．(1，2)

D．( 1，2)或(1， 2)

3

s

为（ ）

t 0 t

答案：D

3．下列求导正确的是（ ）

2

cosx 2xcosx sinx xA． 2 4

x x

B．(sinx) nsinx

nn 1

cosx

C

．

D．(e

2x

sin3x) 6e2x cos3x

答案：C

4．过点( 1，0)作抛物线y x x 1的切线，则其中一条切线为（ ） A．2x y 2 0 C．x y 1 0 答案：D

B．3x y 3 0 D．x y 1 0

2

ln3

，b 3

A．a b c C．c a b

5．若a ln5ln6

，c ，则（ ） 56B．c b a D．b a c

答案：B

6．函数f(x) x3

ax2

3x 9，已知f(x)在x 3时取得极值，则a （ ） A．2 B．3

C．4 D．5

答案：D

7．f(x) x3

3x2

2在区间[ 11]，上的最大值是（ ）

A． 2 B．0 C．2 D．4 答案：C 8．下面都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（

A．①②

B．③④

C．①③

D．①④

答案：B

9．曲线y x(x 1)(x 2) (x 50)在原点处的切线方程为（ ） A．y 1275x B．y 2500x

C．y 100x

D．y 1 2 3 50x

答案：D

10．y 2x与y 3 x2

所围成的图形的面积为（ ） A

．

B

．9

C．

323

D．

353

答案：C 11

．

（ ）

A．π

B．

9π2

C．

9π4

D．

94

答案：C 12．

6

x 3dx （ ）

）

A．0 B．4 答案：D 二、填空题

x

2

C．6 D．9

13．函数f(x) ex的单调递减区间为 答案：( 2，0)

14．已知函数f(x) x 3ax 3(a 2)x 1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ． 答案：a 2或a 1 15．

3

2

π20

xx cos sin dx ．

22

2

答案：

π 1 2

16．图1是一个质点做直线运动的v t图象，则质点在前6s内的位移为 ． 答案：9m

三、解答题

17．设函数f(x) x bx cx(x R)，已知g(x) f(x) f (x)是奇函数． （1）求b，c的值；

（2）求g(x)的单调区间与极值． 解：（1）f (x) 3x 2bx c，

23

2

g(x) f(x) f (x) x3 bx2 cx (3x2 2bx c)

x3 (b 3)x2 (c 2b)x c是一个奇函数，所以g(0) 0，

得c 0，

由奇函数定义，得b 3； （2）由（1）知g(x) x 6x， 从而g (x) 3x 6，

2

3

(是函数g(x)( ，

和 )是函数g(x

)的单调递增区间，由此可知，

的单调递减区间，

g(x

)在x

g(x

)在x

时，取得极小值，极小值为 ．

18．设F(x)

x

t(t 4)dt(x 0)．

（1）求F(x)的单调区间；

（2）求函数F(x)在[1，5]上的最值．

解：由于F(x)

13 1322 x

t(t 4)dt (t 4t)dt t 2t| x 2x2， 0 0 0

3 3

x

x

定义域是(0， )．

（1）F (x) x 4x，令F (x) 0，得x 4， 令F (x) 0，得0 x 4．

2

)，单调递减区间是(0，4)； 函数的单调递增区间是(4，

（2）令F (x) 0，得x 4，

3225

，F(5) ， 33

532

F(x)在[1，5]上的最大值是F(1) ，最小值是F(4) ．

33

由于F(1) ，F(4)

19．设函数f(x) (x 1)ln(x 1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

解：令g(x) (x 1)lnx(x 1) ax，于是不等式f(x)≥ax， 即为g(x)≥g(0)成立．

对函数g(x)求导，得g (x) ln(x 1) 1 a，

5

3

令g (x) 0，解得x e当x e

a 1

a 1

1．

1时，g (x) 0，g(x)为减函数；

a 1

所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)成立的充要条件为e 1≤0，解得a≤1，

1 ． 即a的取值范围是 ，

20．如图2，水渠的横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S，

水面高为h，问侧面与地面成的角 为多大时，才能使横断面被水浸湿的长度（称为湿周）最小？并求出最小湿周． 解：设水浸湿的长度为l，AB CD x， 则S (BC xcos )h，

S

xcos ， h

S

l BC 2x xcos 2x

h

SSh

， (2 cos )x (2 cos )

hhsin BC

sin2 (2 cos )cos 1 2cos l h h， 22

sin sin

令l 0，则cos

1π

， ． 23

由表可知，当

πS

时，可使湿周最小，最小值为． 3h

21．设y f(x)是二次函数，方程f(x) 0有两个相等的实根，且f (x) 2x 2． （1）求y f(x)的表达式；

（2）求y f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

解：（1）设f(x) ax bx c(a 0)， 则f (x) 2ax b．

又f (x) 2x 2，所以a 1，b 2．

2

f(x) x2 2x c．

又方程f(x) 0有两个相等实根，即x 2x c 0有两个相等实根， 所以 4 4c 0，即c 1． 故f(x) x 2x 1； （2）依题意，所求面积为S

2

2

13 0122

(x 2x 1)dx x x x | 1 ． 1

3 3

高中苏教选修（2-2）第1章导数及其应用综合测试

一、选择题

2

1．函数f(x) sinx的导数f (x) （ ）

A．2sinx 答案：D

B．2sin2x

C．2cosx D．sin2x

2．已知函数y 2x ax 36x 24在x 2处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ） A．(2，3) 答案：B

3．曲线y x在点(11)，处的切线与x轴、直线x 2所围成的三角形的面积为（ ） A．

3

32

B．(3， ) C．(2， ) D．( ，3)

4

3

B．

8 9

C．

8 3

D．

4 9

答案：C 4．设f(x) A． 1 答案：D

f，则sintdt f 0

x π

的值等于（ ） 2

D．1 cos1

B．1

C． cos1

ex

5．若函数y 在x x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值（ ）

x

A．等于0 答案：C 6．定积分

B．等于1

C．等于

1 2

D．不存在

π20

sin2

x

dx的值等于（ ） 2

B．

A．

π1 42π1 42

C．

1π 24

D．

π 1 2

答案：A

7．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k 0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利

率为x(x (0，0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率为（ ） A．0.032 答案：A

B．0.024

2

C．0..04 D．0.036

2

8．若函数f(x) xlnx(x 0)的极值点为 ，函数g(x) xlnx(x 0)的极值点为 ，则有（ ） A． 答案：A

9．由曲线y e，y e以及x 1所围成的图形的面积等于（ ） A．2 答案：D

10．函数f(x) x 3x 3x a的极值点的个数是（ ） A．2 答案：C

B．1

C．0

D．由a确定

3

2

B．

C．

D． 与 的大小不确定

x x

B．2e 2

C．2

1 e

D．e

1 2 e

x2

11．经过点(3，的两个交点处的切线相互垂直，则直线l的斜率0)的直线l与抛物线y

2

k等于（ ）

11A． B．

63

答案：A

C．

1

2

2

x

D．

1 2

12．下列关于函数f(x) (2x x)e的判断正确的是（ ） ①f(x) 0的解集是 x|0 x 2 ；

②f(

是极小值，f是极大值； ③f(x)既没有最小值，也没有最大值． A．①③ B．①②③ 答案：D 二、填空题

C．②

D．①②

32

13．已知f(x) x，g(x) x，若f (x) g (x) 2，则x ．

14．若函数f(x) 是 ．

答案： 1 m≤0

4x

在区间(m，2m 1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围x2 1

15．一个质点以速度v(t) t 1 6(m/s)沿直线运动，则在时间间隔(1，4)上的位移是 ． 答案：31.5m 16．已知函数f(x) 是

答案：m≥三、解答题

17．已知作用于某一质点的力F(x)

2

1312

x x 2x m的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围32

7 6

x， 0≤x≤1

，（单位：N），试求力F从x 0

x 1， 1 x≤2

处运动到x 2处（单位：m）所做的功． 解：力F所做的功W

1

xdx (x 1)dx

1

2

121 12 2

x|0 x x |1 3J． 2 2

答：力F所作的功为3J．

18．已知函数f(x) x ax bx c．f(x)在点x 0处取得极值，并且在单调区间

3

2

[0，2]和[4，5]上具有相反的单调性．

（1）求实数b的值；

（2）求实数a的取值范围．

解：（1）f (x) 3x 2ax b，因为f(x)在点x 0处取得极值， 所以f (0) 0，即得b 0；

2

（2）令f (x) 0，得3x 2ax 0，

2

解得x 0或x 依题意有

2a． 3

2

a 0

． 因为函数在单调区间[0，2]和[4，5]上具有相反的单调性，所以应用2≤ 解得 6≤a≤ 3．

19．已知函数f(x) x x 16．

（1）求曲线y f(x)在点(2， 6)处的切线方程；

3

a≤4， 3

（2）直线l为曲线y f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 解：（1） f (x) (x x 16) 3x 1，

3

2

6)处的切线的斜率k f (2) 3 22 1 13， 在点(2，

切线的方程为y 13x 32；

2

（2）设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f (x0) 3x0 1， 23 1)(x x0) x0 x0 16． 直线l的方程为：y (3x0

又 直线l过点(0，0)，

23

0 (3x0 1)( x0) x0 x0 16，

整理，得x0 8， x2 2，

3

y0 ( 2)3 ( 2) 16 26，

l的斜率k 3 ( 2)2 1 13，

26)． 直线l的方程为y 13x，切点坐标为( 2，

20．如图所示，求抛物线y 2px(p 0)和过它上面的点P1 的切线的垂线所围成的平面图形的面积．

解：由题意令y

2

p

，p 2

x≥0)，

1y 2p ，y |p 1，

x 22

所以过P1点且垂直于过P1点的抛物线的切线的直线的斜率为 1． 其方程为y p x 即2x 2y 3p 0．

与抛物线方程联立消去x，得y 2py 3p 0， 解得y p或y 3p． 又x y

2

2

p ． 2

3

p， 2

p

2

y p dy

2p

3

所以所求平面图形的面积为S y

3p2

y2313 p

py y | 3p

6p 22

131 999

p2 p2 p2 p2 p2 p2

26 222 2

162

p． 3

21

．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙

方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x

（元）与年产量t

（吨）满足函数关系x s元（以下称s为赔付价格）

（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的

年产量；

（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y 0.002t（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

解：（1）因为赔付价格为s元/

吨，所以乙方的实际年利润为w st．

由w

2

s 2

1000

令w 0，得t t0 ．

s

当t t0时，w 0；当t t0时，w 0， 所以t t0时，w取得最大值．

1000

因此乙方取得最大年利润的年产量t0为 ； （吨）

s

（2）设甲方净收入为v元，则v st 0.002t．

2

2

1000 将t 代入上式，

s

2

1062

4 109． 得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v ss106 (8000 s3)

又v ， 5

s

令v 0，得s 20．

当s 20时，v 0；当s 20时，v 0， 所以s 20时，v取得最大值．

因此甲方应向乙方要求赔付价格s 20（元/吨）时，获最大净收入．

22．由曲线y 2x 2(1≤x≤3)及直线y 0，绕y轴旋转所得旋转体做容器，每秒

2

钟向容器里注水8cm3，问几秒钟后能注满容器？（坐标的长度单位是cm） 解：如图，底面是x轴上0≤x≤1部分的线段绕y轴旋转所生成的圆， 侧面是抛物线y 2x 2上1≤x≤3，0≤y≤16部分绕y轴旋转所得

2

的曲面．

由y 2x2

2，得x2

y 2

2

， 16

注满容器时的体积为V π

16

y 2

2dy y2 y 0

| 80π(cm3)． 40

每秒注水8cm3

，充满容器所需时间为80π 8 10π（秒）． 所以10π秒钟后能注满容器．