同济大学高数E复习题附答案

同济大学高数E复习题附答案

2011级高数E复习题------答案

一、填空题 1． 已知F(x)

cosx0

tsint2dt，则F (x) .

F (x) cosxsin(cosx)2( sinx)

2． lim(1 2x)

x 0

3sinx

.

1 x2 3 x2xsin

lim(1 2x)

x 0

3

sixn

lim(1 2x)

x 0

e 6

3. 已知 y xsinx，则y .

sinx n

y esixnlx cosxlxn x

x

sxin

cxosx lsixn x

4.已知f (ex) x, x + 且,则f(x) ,其中 x ,又知f(1) 0（ ）

f (ex) x u ex x lnu f (u) lnu

f(u) f (u)du lnudu ulnu u C

f(1) 1ln1 1 C 0 C 1

f(x) xlnx x 1

5． 曲线y ln(x2 1)的凹区间是.凸区间是

2x2(x2 1) 2x 2x2(1 x2) y ln(x 1) y 2

y 2

222

x 1(x 1)(x 1)

2

二. 求解微分方程 1． xy ylny 0

y

ylnydydxCC

0 ln(lny) lnx lnC ln lny xylnyxxx

同济大学高数E复习题附答案

y e

2. 1 y2 dx yx 1 x dy 0

Cx

ydydx1 1x 12

dx ln(1 y) ln lnC 1 y2 x(1 x) x1 x 21 x

2

x 1 y2 C

1 x 1 x2

3． y ,y 1 1

xy

1 x211 1

ydy dx x dx y2 lnx x2 C

x22 x yx 1 1 x 0

121121

y lnx x2 C C 1 y lnx x2 1 2222

sinx

x 0 x,

x 0在 x 0处连续，求k的值 三、 已知f(x) k,

1

xsin 1,x 0

x

1 sinx

limf(x) limxsin 1 1 k 1lim f(x) lim 1 x 0x 0x x 0x 0 x

四、求极限运算

3 1．

x 1x 14 x33

1

1 1 1ln(x 2) x 1L lim lim lim x

x 1x 1 1(x 1)ln(x 2)x 1x 1ln(x 2) ln(x 2)

2． x 2

L x 1 11

lim lim x 1(x 2)ln(x 2) x 1x 12 ln(x 2) 1

x 2

L 1 3．

x 0x 02

同济大学高数E复习题附答案

1 ex 1 xL ex 1L ex1 1

4． lim x lim lim lim

x 0xe 1 x 0x(ex 1)x 0ex 1 xexx 0ex ex xex2

5．求极限

1 1 1

sin 2 1 1 x x lncosL cos sin2

1 x lim lim lim 0

2

x arccotxx x 1 x2

cosxx 五、求下列函数的导数或微分：

11．y 1 lnxx2

(1 lnx)x2

y 1 2 2lxn 12xln

x2

x4x3 x3

2．y xcosx

y ecosxlnx ecosxlnx

cosx cosx cosx sinxlnx x x sinxlnx x 3. y 1 xey

，求y y ey xey

y y ey

1 xey

4．y x4 5x 2sin2x 2，求dy

y 4x3 5xln5 4cos2x dy (4x3 5xln5 4cos2x)dx 5．y x cosx sinx ，求dy

y cosx sinx x (sxin cxo s)dy (xc osx sixn

6．设函数y y(x)由方程ln(x3 y) x3 ycosx确定，求dy

dx

ln(x3 y) x3 ycosx

1

x3

y

(3x2 y ) 3x2 ysinx y cosx dy3x5 3x2y x3ysindx y x y2sinx 3x2

1 (x3

y)cosx

六、计算下列积分：

1．

xsin3xdx

1 03 0xdcos3x 1

1 3xcos3x0

3 0

cos3xdx 13 19sin3x

1 0 3

x sxin

xdx

同济大学高数E复习题附答案

2．

dxdlnx1

x1 2lnx 1 2lnx2ln(1 2lnx) C 3．

xe

4．

2 x

dx x2de x x2e x e x2xdx x2e x 2xe x 2e x C

x 3

x2 6x 5x

x 3AB

A(x 5) B(x 1) x 3 A 1B 2 2

x 6x 5x 1x 5

x 32 (x 5)2 1

2x C dx ln

x 6x 5x 1x 5x 1

5．

1 2x21 x2 x21 1 1

dx dx dx arctanx C 22 x21 x2 x2(1 x2) x x1 x

6.

1dx1 11 1xdx dx ln C 2 x 2xx(x 2)2 xx 2 2x 2

1

7．

e1

lnx u1e1 lnx1 3

dx (1 lnx)dlnx (1 u)du u u2

10x2 02

8．

1

xedx xde xe

x

1

x

x10

exdx e ex e e 1 1

11

9．

111 2x2 x21 2

xsinx dx xsinxdx dx 0 21 dx 2 22 1 1 101 x 1 x 1 x

1

2(x arctanx)0 2 1 2

2 4

10．

1

2

2xsinx2 x2sinx132162 2

xdx dx xdx 0 x 2 44 2 2 21 x33 1 x 2

七. 求下列各曲线所围成的平面图形的面积： 1

1． 曲线y 与直线y x,x 2

x

同济大学高数E复习题附答案

y

A

2

1

,y x x2 1 x 1x

1

1 3 12 x dx x lnx ln2

x 2 12

2

2． 曲线y x2与两直线y x,y 2x

y x2 y x222

x x x 0x 1 2x x x1 0x2 2 12 y x

y 2x A 0(2x x)dx 1

1

2

11 177

(2x x2)dx x2 x2 x3 3

20 3 1236

12

3． 曲线y x3,y x2与直线x 2

y x2 32

x x x1 0x2 1 3

y x A 1

2

13(x x2)dx

4

41x x3 1

2

11(16 4317

(8 )

12

4．求由曲线y x2 4x 3 及其在点(0, 3)与(3,0)的切线所围成的图形的面积。

解 ：y 2x 4 0 x 2，在点(0, 3)，y 4 y 3 4x y 4x 3 在点(3,0)，y 6 4 y 2(x 3) y 2x 6

y 4x 33

4x 3 2x 6 6x 9x

2 y 2x 6

A (4x 3 x 4x 3)dx 3( 2x 6 x2 4x 3)dx

2

2

3

20

3

320

19 1

x2dx 3(x2 6x 9)dx x3 x3 3x2 9x

30 3 342

3

2

3

2

3

八．求由曲线y sinx与它在x 旋转而成的旋转体的体积. 解：

2

处的切线以及直线x 所围成的图形绕x轴

1 cos2x 2 1 2 22

V 1 sinxdx dx x sin2x 2222224 22

2

2

同济大学高数E复习题附答案

x3

九.证明不等式： 当x 0时，arctanx x

3

证：

x3

令F(x) arctanx x

3

x (0, )

11 1 x2 x2 x4x42

F (x) 1 x x (0, )F (x) 0

222

1 x x (0, )F(x)

x 0F(x) F(0) 0

1 x1 xx3

arcta

xn x 3

▍