3.2.2 函数的和、差、积、商的导数1

3.22.函 数 和的、、差、积商导数的

知

识顾：

基本回求导式:公(1)C 0(C为 数)常 为(数常)

()2 x ) ( x ' x'

x '

(3)1(a) a ln(a a0 ,a 且1)1 (4)log (a x ) a( 0, a 且 1)xln a1' x' x ()(l6nx) ( )5e ( ) e x(7)(sni x) cosx '

()(cos8x) sixn'

由、定义求导数(三步)步骤法:(1 )求增 量y f ( x x) ( x )f; y ( fx x )f ( )x (2) 算比值 ; x x y( 3 当 x ),0 常数 x

3.利用数导定求义 的数. (导x 22

x ) 2x 1 g( x) x2

y 2 xx 2

f x)( x.结论：4 (x2 猜想：

f ( x) g (x ) x x x ) ( ) x ( x) .[ f( x g ()x) ] f( ) x ( x)g

证明想猜证明：

令 (fx ) (g x) y f x( ) g (x .)

f ( x) (g x).

y (fx x) g (x x f )( x ) g( x)

f ( x x ) f ( )x g( x x g ) x() y f ( x x ) f ( x ) g ( x x ) ( g) x xx

f ( x x ) f( x) g ( x x ) g( x ) x x

f (x) g x()

法1则 :个函两的数和(或差的 )导数，于等两这函数个的数导的 (和或差)即：,[ f ( x ) g x(]) f ( x) g (x).法2则

[:C f( )] x f C ( ).(xC常为)数

1. (1)例函求数 (f )x x is xn导的数.2

解f: ( x) ( x is x) 2n (x ) (s in )x x 2 c o xs232 ()2求函数g (x) xx x 2的导数6. 23

3 2解g :( ) x ( x x 6 ) 2x3 2 3 ( x ) ( )x (6 )x 3 x 2 3 6 2x

3

法则3 : 个函两的数积导数的，等于第一函个的数导数乘 以第二个函

数加第上一个函数乘以第个二函数导的数

[f (x)g x)(] f ( x g)( x) (fx )g ( x.)

2:例( )求函1h数( ) xxsin x 导的. 数()求2函f数( ) x2 x l n的x导数解 : (.1)h (x) ( x insx) x sinx x(s in )x isnx x c sox

()2 (f )x ( 2 xln x) ( 2 ) xln x 2(x )l( nx) 2 l n x2

3用两.方种法求 y (x2的导数

2

3 )(3x 2

2 2)解 ：法：y 一(x 2 )3 (3 x 2 ) 2(x 3()x3 2)

4 x ( 3x ) 2 ( 2x )3 32

81 x 8x 9 3 法2二： y ( 6 x 4 x 9x 6) 2

1 8x 8 x 9

2

则法4 :个两数的函商的数，导等于分子的导数与分母积，的减去母的导数 与分分子的，再除以积分的母方平,:即f( x) f(x )g ()x f (x )g x()[ ] 2g ( )xg x()

其中g x) ( 0

t1 例3 :()求函数s1 ( t ) t 的导数.

2 2)(函数y 求t an 的导x数cs x (o3 )求数函 y

的数 x导

x()4函数f(求x ) x 的导数. e x解 :2) (f ( x) (x x e

) x

xx e xe ( ) e xe 1 x x 2x 2 x(e )ee

x

习练1求 y. x2 x 5x3 4的 数导3

2

解 y: ( x 2x 3 5 x 4 ) 3

2 x6 x6 5

x 3.2 y 导的 s数inx

2

x ( s)n xi x (is n) x:解y 2is xn2 '2 ''

2 x sn xi x cso x 2 is nx2

x 34 . 求y 2 在点 x3 的导处数x 3 2 1 (x 3 ) (x ) 3 2 ' 解：xy 2 (2x 3) 36 3 13 x 3时,当f (3 ) 22 ( 3 3) 62

x 6 x 3 2 2(x 3 )2

例4