16.4.2角平分线定理

角的平分线(2)马鞍山市金瑞中学数学初二备课组

本节课学习目标 1.掌握角平分线性质定理并学会应用. 2.掌握角平分线判定定理并学会应用.

自学内容： 课本135页

自学检测：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：A D P

∵∠1= ∠2PD ⊥OA ,PE ⊥OB ∴PD=PE.你能用三角 形全等证明 这个性质吗？ 1 2

O

B E

自学检测：定理：在角平 分线上的点到 角的两边的距 离相等 AD 1 2 O E

已知：OC平分∠AOB,点P在OC上，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E

求证: PD=PE证明：∵OC平分∠AOB ∴∠1=∠2 又∵PD⊥OA,PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° C 在ΔOPD和ΔOPE中 ∵ ∠1=∠2 ∠PDO=∠PEO B OP=OP(公共边) ∴ΔOPD≌ΔOPE(AAS) ∴PD=PE

P

自学检测：角平分线的判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在 这个角平分线上。已知：PD ⊥OA ,PE ⊥OB,垂足分别是D、E, PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。 用符号语言表示为： A ∵PD=PED P

C

PD ⊥OA ,PE ⊥OB∴ ∠AOC= ∠BOC .O

E

B

基础练习：1.填空：(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________

A 1 2

ED B

角平分线上的点到角的两边的距离相等 (___________________________________________)(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE∠1= ∠2 ∴__________ (_到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。 ______________________________________________)

C

基础练习： 2.选择题：(1)下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线 l2的距离的是( )P l1P l1

A l2

B

l2

图1

图2

基础练习：2:下列两图中，能表示角的平分线上的一点P 到角的边上的距离的是( )M

NP

A

P A

基础练习：3.判断：(∴

×)两边的距离相等。

(1)∵ 如图，AD平分∠BAC(已知)

BD = CD ,( 角的平分线上的点到角的 )

B A C D

基础练习：(2)∵ 如图， DC⊥AC,DB⊥AB (已知)

∴

BD = CD ,( 角的平分线上的点到角的 )两边的距离相等。A B C

(×)D

基础练习：(3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC, ∴DE⊥AB (已知) DB = DC ,( 角的平分线上的点到角的两 )

√

边的距离相等。

B

A D

C

基础练习：4.如图，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠CAB的角平 分线，DE⊥AB于点E,BC=8,BD=5,求DE。证明：∵∠C=90°(已知) A ∴DC⊥AC(垂直的定义) 2 又∵AD是∠CAB的角平分线， 1 DE⊥AB(已知) ∴CD=DE(角平分线上的点 C 到角的两边的距离相等) 又∵BC=8,BD=5 ∴CD=BC-BD=8-5=3 ∴DE=3

E

D

B

基础练习：

5.已知：如图，∠C= ∠C′=90° , AC=AC ′ .求证(1) ∠ABC= ∠ABC ′ ; (2)BC=BC ′ .(要求不用三角形全等的判定)

证明： ∵∠C= ∠C′=90°, AC=AC ′ (已知) A ∴ ∠ABC= ∠ABC ′ (到一个角

的两边的距离相等 的点，在这个角平分线上) 又∵∠ABC+∠BAC=∠ ABC ′ C +∠ BAC′=90° C′ (直角三角形的两锐角互余) ∴ ∠BAC =∠ BAC′(等角的余角相等) B 又∵ ∠C= ∠C′=90° (已知) ∴ BC=BC ′(角平分线上的点到角的两边的距离相等)

提高训练

1. 已知：如图，△ABC的角平分线 BM、CN相 交于点P. 求证：(1)点P到三边AB、BC、CA的距离相等. (2)AP平分∠A. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA,垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上(已知) A ∴PD=PE(在角平分线上的点到角的两 边的距离相等) D F 同理 PE=PF. N PM ∴ PD=PE=PF(等量代换). B C 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 E ∴AP平分∠A(在一个角的内部，到角两边距离 相等的点在这个角的平分线上)

提高训练

2.如图，△ABC中，∠C=90°, AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,F在AC 上，BD=DF. 求证：CF=EB。 AD平分∠CAB,

证明： ∵

DE⊥AB,∠C=90°(已知)∴ CD=DE (角平分线的性质)A

在Rt△FCD和Rt△DBE中CD=DE(已证)

DF=DB(已知)∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)

F C D

E B

∴ CF=DE(全等三角形对应边相等)

提高训练3.如图，△ABC的∠B的外角的平分线B D与∠C的外角的平分线CE相交于点 P.求证：点P到三边AB,BC,CA所 在直线的距离相等.C F H D

PB G

E

A