2定理当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时

欧地、红海

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你已经知道的判定三角形全等的方法有几种？ 你已经知道的判定三角形全等的方法有几种？ 1.根据三角形全等的定义； 根据三角形全等的定义； 根据三角形全等的定义 2.定理：当两个三角形的两条边及其夹角分 定理： 定理 别对应相等时，两个三角形等.( .(S.A.S.) 别对应相等时，两个三角形等.( ) 注意： 注意：当两个三角形的两条边及其中一边的对 角分别对应相等时，两个三角形不一定全等。 角分别对应相等时，两个三角形不一定全等。

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(角边角 角边角) 角边角 (角角边 角角边) 角角边

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如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角， 如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角， 以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形. 以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形.M N C 600 A 4cm 400 B

步骤： 步骤： 把你画的三角形与其他同学画的 三角形进行比较， 三角形进行比较， 1.画一条线段 ，使它等于 所有的三角形都全 画一条线段AB,使它等于4cm; 画一条线段 ； 等吗？ 等吗？ 2.画∠MAB=600、∠NBA=400,与 ，试试看，是 画 MAB NBA 换两个角和一条线段， 换两个角和一条线段 试试看， MA交于点 否有同样的结论. 交于点C。 交于点 否有同样的结论. 。 都全等 ⊿ABC即为所求。 ABC即为所求。 即为所求

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A

D

B

C

F

E

定理： 定理：当两个三 角形的两个角及 其夹边分别对应 相等时， 相等时，两个三 角形全 .(A.S.A.) 等.( )

用几何语言叙述为： 用几何语言叙述为： ∵∠A=∠D, ∵∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠E, ∴⊿ABC≌⊿DEF(A.S.A.)

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如果两个三角形有两个角及其中一个角的对 边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？ 边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？ 已知： 已知：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, AC=A′C′ = , = , = 求证： 求证： △ABC≌△A′B′C′ ≌ 证明： 证明：∵ ∠A=∠A′,∠B=∠B′, = , = , ∠A+∠B+∠C=180° + + = ° ∠A′+∠B′+∠C′=180° + + = ° ∴ ∠C=∠C′. = . 在△ABC和△A′B′C′中， 和 中 ∵ ∠A=∠A′ = AC=A′C′ = ∠C=∠C′ = ∴ △ABC≌△A′B′C′(A.S.A.) ≌ ( )

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结 论有两角和它们中的一边对应相等的两个三 角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)。 角形全等 简写成“角角边” )。 简写成A用几何语言叙述为： 用几何语言叙述为： 在△ABE和△A’CD中， 和 中 B= A= C A’

A'

AE=A’D △ABE △A’CD AAS

E

D C

B

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课 堂 练 习如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件 如图，要证明△ ≌ 根据给定的条件 和指明的依据，将应当添设的条件填在

横线上。 和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。 AC=BD (1)AC∥BD,CE=DF,___ ∥ , ,___.(SAS) ∠A=∠B ∠ (2) AC=BD, AC∥BD ,__________. (ASA) , ∥ ∠ ∠ ∠ (3) CE=DF,——————,∠C=∠D (ASA) , AEC=∠BFD,————. AC=BD ∠A=∠B ∠ (4)∠ C= ∠D,————,————. (ASA) ∠ , , A C F E B D

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思考

如图， 如图，∠ABC=∠DCB,试添加一个条件， ∠ ,试添加一个条件， 使得△ 使得△ABC≌△DCB,这个条件可以是 ≌ 这个条件可以是 ∠ACB=∠DBC _________(A.S.A.) ∠A=∠D 或_______(A.A.S.) AB=DC D 或_______(S.A.S.) A

B

C

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A 口答：

A′

B

C

B′

C′

1.两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，这两个直角 三角形全等吗？为什么？ 全等，根据A.A.S. 答：全等，根据 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这 两个直角三角形全等吗？为什么？ 答：全等，根据A.S.A. 全等，根据

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练一练根据题目条件， 根据题目条件，判别下面的两个三 角形是否全等，并说明理由. 角形是否全等，并说明理由

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例题讲解： 例题讲解：已知： 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相 在 上 在 上 和 相 交于点O, 交于点 ，AB=AC,∠B=∠C. , ∠ . 求证： 求证： △ABE≌△ACD ≌证明： 证明：在△ABE和△ACD中， 和 中 ∵ ∠B=∠C , ∠ AB=AC, , ∠A=∠A, ∠ ∴ △ABE≌△ACD(A.S.A.) ≌ (

A D O B C E

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考考你自己如图,AB⊥ AD⊥ 如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2. ,AB 求证:AB=AD 求证:AB=AD .证明： 证明：∵ AB⊥BC,AD⊥DC, ⊥ ⊥ ∴∠B=∠D=90. 在⊿ABC和⊿ADC中， ABC和 ADC中 ∵ ∠B=∠D, ∠ ∠1=∠2 , ∠ AC=AC, ∴ ⊿ABC≌⊿ADC(A.A.S.) ≌ ∴AB=AD

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B如图,填空： 如图 填空： 填空 在△AOC和 △BOD中， 和 中 ∵∠A=∠B(已知) ∠ (已知) (已知) 已知) 已知) ∠C=∠D (已知) ∠ ∴△ADC≌△BOD( ≌ ( )

C O D

A

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探索继续如图， 如图，AB//DC,AD//BC,BE⊥AC,DF ⊥ AC , , 垂足为E、 。试说明： = 垂足为 、F。试说明：BE=DF D E A F B A C D F E B C

变形，如图，将上题中的条件“ 变形，如图，将上题中的条件“BE⊥AC,DF , 变为“ //DF DF”,结论还成立吗？ ⊥ AC”变为“BE //DF ,结论还成立吗？请说 变为 明你的理由。 明你的理由。

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你也试一试:如图： ABC是等腰三角形， 如图：△ABC是等腰三角形， 是等腰三角形 AD、BE分别是 分别是∠ AD、BE分别是∠A、∠B的角平 分线， ABD和 BAE全等吗 全等吗？ 分线，△ABD和△BAE全等吗？ 试说明理由. 试说明理由. 若改为：AD、BE分别是两腰上 若改为：AD、BE分别是两腰上 的高， 的中线，ABD和△BAE全等吗？ ABD和 BAE全等吗 全等吗？ 全等吗？ 的高，△ABD和 BAE全等吗 的中线

,△ABD和△BAE全等吗？ 试说明理由. 试说明理由.