微积分第二章习题参考答案

微积分第二章习题参考答案

第二章 一元函数微分学习题答案

§2.1导数的概念(19-20)1 一. f ′( x0 ),2 f ′( x0 ), f ′(0); ; f ( x0 ) x0 f ′( x0 ); 4 1 ;y = 秒 2 可微 可导 5米 3 π 1 2 π ( x ), y = ( x ); 2 3 2 3 3 连续 极 限 存 在.

二.1. y =| sin x | 在x = 0处不可导. 2.当α > 1时,函数在x = 0处可导, 当α ≤ 1时,函数在x = 0处不可导.

三.解. Q f (1) = f (1 0) = 1, f (1 + 0) = a + b, ∴ b = 1 a; x2 1 又 Q f ′ (1) = lim = 2, x →1 0 x 1 (ax + b ) 1 (ax + 1 a ) 1 f +′ (1) = lim = lim = a, x →1+ 0 x →1+ 0 x 1 x 1 ∴ a = 2, b = 1 a = 1.

四.证明. Q f ( x )为偶函数,∴ f ( x ) = f ( x ). f ( x ) f (0) f ( x ) f (0) ∴ f ′(0) = lim = lim x →0 x →0 x x f ( x ) f (0) = lim = f ′(0). x→0 x ∴ f ′(0) = 0.

y0 a 五.证明. 设切点为( x0, y0 ),Q y′( x0 ) = 2 = , x0 x0 y0 ∴ 切线方程为 : y y0 = ( x x0 ), 其截距式为 x0 x y + = 1, 2 x 0 2 y0 ∴ 切 线 与 两 坐 标 轴 构成 的 三 角 形 面 积 1 S = | 2 x0 | | 2 y0 |= 2a 2为常数,与切点无关. 2

2

§2.2求导法则(21-22)一.1. 2cos x + sec 2 x , 3cos x + 2sec 2 x; ex 2. cosθ e sin θ , ; 2x 1+ e x 2 x cos 2 x sin 2 x 1 2 3. , e ( cos 3 x + 3sin 3 x ); 2 x 2 1 arctan 4. cscθ , e ; 2 (1 + )

5. sec t ; 6. x 1 + x2 1 7. ,(ln( x + 1 + x 2 ) + c ). 1 + x2 d 8. lim f (cos x ) x → 0 dx 1 = lim f ′(cos x )( sin x ) = 1. x→0 2 x ,( 1 + x 2 + c );

1.(1)解. 二. y′ = = (2)解.

y = ln( x + x x 2 ) ln x , 12

x + 1 x 1 x2 2

(1

x 1 x2 2

)

1 x + x (1 x )2

.

1 y′ = 3sec (ln x ) sec(ln x )tan(ln x ) x 3 = sec 3 (ln x )tan(ln x ). x

1 1 1 (3)解. u′ = e ( 2sin )cos ( 2 ) v v v 1 sin2 1 2 v sin . = 2e v v (4)解. e ln x e ln x y = th(ln x ) = ln x e + e ln x2

sin 2

1 v

1 x x = 1 x+ x

x 1 2 , = 2 = 1 2 x +1 x +1 2 4x y′ = 2 2x = 2 . 2 2 ( x + 1) ( x + 1)

2.解. Q f ( x)可导,∴ f ( x)连续, ∴1 = f (0) = limb(1 x2 ) = b. 又Q f ′(0) = a,x→0

b(1 x2 ) 1 (1 x2 ) 1 f+′(0) = lim = lim = 0, x→0+0 x→0+0 x x ∴a = 0. 综上所述,当a = 0, b = 1时, f ( x)处处可导. dy x 3.解 3.解.(1) = e f ′(e x )e f ( x) f ′( x); dx dy (2) = f ′(sin2 x)2sin xcos x + f ′(cos2 x)2cos x( sin x) dx = [ f ′(sin2 x) f ′(cos2 x)]sin2x.

1 3.(3) y′ = f ′( x ); 2 1 + f ( x) (4) y′ = f ′(sin x )cos x + cos[ f ( x )] f ′( x ). 4.解.(一) Q lim f ( x ) = limx → 0 0

11 x

1+ e ∴ f ( x )在x = 0处不连续,∴ f ′(0)不存在. 1 1 0 1 1+ ex (二 ) Q f ′ (0) = lim , = lim 1 = ∞ x → 0 0 x →0 0 x x (1 + e x ) ∴ f ′(0)不存在.

x → 0 0

= 1 ≠ f (0),

三.证明.(1)设f ( x )为偶函数, 则f ( x ) = f ( x ), ∴ f ′( x ) = f

′( x ),∴ f ′( x ) = f ′( x ), 即f ′( x )为奇函数; (2)设f ( x )为奇函数, 则f ( x ) = f ( x ), ∴ f ′( x ) = f ′( x ),∴ f ′( x ) = f ′( x ), 即f ′( x )为奇函数;

§2.3隐函数的导数(23-24)e 2 ; 2. csc (r + θ ); 一.1. 2 y y( x ln y y) 3. x( y ln x x); 4. cos t sin t cos t + sin t , 3 2; 2 2θ 5. e ; 3y

t 2 6. ; 7. y = 2 2( x ). 2 2

dy x x x 1 ) (ln ); 二 .1. =( + dx 1+ x 1+ x 1+ x 2 dy sin x 2 2. ] ; = (1 + x 2 )sin x 2 x[cos x 2 ln(1 + x 2 ) + 2 dx 1+ x ′ ′ xθ xθ e x sin θ e x cos θ = 0 , 三 .解 : 2 ′ yθ 3θ 2 = 0 e x cos θ ′ dy (3θ 2 + 2)(1 e x sin θ ) xθ = , = 1 e x sin θ , ∴ x dx e cos θ y′ = 3θ 2 + 2 θ x = 1 dy k= , = 2e ,当 θ = 0时 , dx θ = 0 y=0

∴ 切 线 方 程 为

y = 2 e ( x + 1 ), 1 y = ( x + 1 ). 法 线 方 程 为 2e 四 . 解 : s2(t) x 2(t) = 9, ds dx s(t ) x(t ) = 0, dt dt ds x = 4, 已 知 = 160, s = 5, dt dx ∴ = 2 0 0 ,∴ v = 2 0 0 1 2 0 = 8 0 . dt 汽 车 速 度 为 80 km . h