2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】

2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】

高等数学部分

第一讲 函数、极限、连续

一、极限

（一）极限基本概念 1、极限的定义

（1）数列极限：设{an}为一个数列，A为常数，若对任意 0，总存在N( ) 0，当

n N( )时，有|an A| 成立，则称A为数列{an}的极限，记liman A或

n

an A(n )。

（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设f(x)为一个函数，A为一个常数，若对任意

0，存在X 0，当|x| X时，有|f(x) A| 成立，称f(x)当x 时以A为

极限，记为limf(x) A或f(x) A(x )。

x

（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设f(x)为一个函数，A为一个常数，若对任意

0，存在 0，当0 |x a| 时，有|f(x) A| 成立，称f(x)当x a时以

A为极限，记为limf(x) A或f(x) A(x a)。

x a

（4）左右极限：f(a 0) limf(x)，f(a 0) limf(x)，分别称f(a 0),f(a 0)

x a 0

x a 0

defdef

为函数f(x)在x a处的左右极限，limf(x)存在 f(a 0),f(a 0)都存在且相等。

x a

问题：

（1）若对任意的 0，总存在N 0，当n N时，有|an A| 2 ，数列{an}是否以常数A为极限？

（2）若数列{an}有一个子列以常数A为极限，数列{an}是否以常数A为极限？ （3）若数列{an}的奇子列与偶子列都存在极限，数列{an}是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列{an}的极限是否存在？

2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】

2、无穷小

（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。 （2）无穷小的性质

1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；

2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小； 3）极限与无穷小的关系： （3）无穷小的层次关系 1）定义： 2）性质：

设 ~ , ~ ，且lim

存在，则lim lim；

~ 的充分必要条件是 o( )。

（4）当x 0时常见的等价无穷小：

1）x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex 1~ln(1 x)；

x2a

,1 cosax~x2； 2）1 cosx~22

3）(1 x) 1~ax。

（5）无穷大

1）定义：

2）无穷大与无穷小的关系。 问题：

（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？

（2）设 , , 都是无穷小，且 o( ), o( )，是否一定有 ~ ？

（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。 （二）极限的性质 1、极限的基本性质

（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。 （2）有界性

1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。 2）函数极限的局部有界性： （3）保号性

1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零； 2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。 （4）列与子列极限极限的关系：

a

2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】

2、极限的存在性定理与重要极限 定理1 单调有界的数列必有极限。 定理2 夹逼定理（数列及函数）： 重要极限：

x

sinxa 1

1； （2）lim(1 ) e； （3）lim lna。 （1）lim

x 0 0x 0xx

1

3、极限运算性质 （1）四则运算性质

（2）复合函数极限运算性质 注解： 问题：

（1）若{an}有界，liman是否一定存在？

n

（2）若liman A，当m n时，是否一定有|am A| |an A|？举例说明。

n

（3）若lim[f(x) g(x)]存在，limf(x)及limg(x)是否存在？若lim[f(x) g(x)]及

limg(x)存在，是否一定有limf(x)存在？

（4）若f(x) 0( 0)，且limf(x) A，是否一定有A 0( 0)？举例说明。

二、连续与间断

（一）基本概念 1、函数连续的定义

（1）函数在一点连续的定义及等价定义 （2）函数在闭区间上连续的定义 2、间断及其间断点的分类 （1）第一类间断点： （2）第二类间断点。

（二）闭区间上连续函数的性质 1、最值定理 2、有界定理 3、零点定理 4、介值定理

（1）最值型介值定理： （2）端点型介值定理：

2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】

注解：

（1）初等函数在其定义域内连续；

（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。 问题：

（1）设f(x),g(x)都在x a处间断，则f(x) g(x),f(x) g(x),

f(x)2

,f(x)是否一定g(x)

在x a处间断？

（2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。

例题部分

一、填空题

ex 1

1、lim ______。

x 0xln(1 2x)

2、设2 x2 2~axb(x 0)，则a ___,b ___。

2

sinx tanx

______。

x 0x2arcsinx

ln[1 f(x)]f(x)

2lim ______。 4、设lim，则22x 0x 0xx

3、lim

f(x) bef(x) ea A，则lim ______。 5、设lim

x ax ax ax a

a 0,b 0,c 0)。 6、lim(a b c) ______(

n

nnn

1

n

x2nnn

x 0)。 7、lim[1 x ()] ______(

n 2

8、lim(

x 0

1

11

) ______。 x2xtanx

sin2x e2ax 1

,x 0

9、设f(x) 在点x 0处连续，则a ______。 x

a,x 0

2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】

二、解答题

1、判别函数f(x) ln(x x2 1)的奇偶性， …… 此处隐藏：7743字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……