2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】

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高等数学部分

第一讲 函数、极限、连续

一、极限

（一）极限基本概念 1、极限的定义

（1）数列极限：设{an}为一个数列，A为常数，若对任意 0，总存在N( ) 0，当

n N( )时，有|an A| 成立，则称A为数列{an}的极限，记liman A或

n

an A(n )。

（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设f(x)为一个函数，A为一个常数，若对任意

0，存在X 0，当|x| X时，有|f(x) A| 成立，称f(x)当x 时以A为

极限，记为limf(x) A或f(x) A(x )。

x

（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设f(x)为一个函数，A为一个常数，若对任意

0，存在 0，当0 |x a| 时，有|f(x) A| 成立，称f(x)当x a时以

A为极限，记为limf(x) A或f(x) A(x a)。

x a

（4）左右极限：f(a 0) limf(x)，f(a 0) limf(x)，分别称f(a 0),f(a 0)

x a 0

x a 0

defdef

为函数f(x)在x a处的左右极限，limf(x)存在 f(a 0),f(a 0)都存在且相等。

x a

问题：

（1）若对任意的 0，总存在N 0，当n N时，有|an A| 2 ，数列{an}是否以常数A为极限？

（2）若数列{an}有一个子列以常数A为极限，数列{an}是否以常数A为极限？ （3）若数列{an}的奇子列与偶子列都存在极限，数列{an}是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列{an}的极限是否存在？

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2、无穷小

（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。 （2）无穷小的性质

1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；

2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小； 3）极限与无穷小的关系： （3）无穷小的层次关系 1）定义： 2）性质：

设 ~ , ~ ，且lim

存在，则lim lim；

~ 的充分必要条件是 o( )。

（4）当x 0时常见的等价无穷小：

1）x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex 1~ln(1 x)；

x2a

,1 cosax~x2； 2）1 cosx~22

3）(1 x) 1~ax。

（5）无穷大

1）定义：

2）无穷大与无穷小的关系。 问题：

（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？

（2）设 , , 都是无穷小，且 o( ), o( )，是否一定有 ~ ？

（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。 （二）极限的性质 1、极限的基本性质

（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。 （2）有界性

1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。 2）函数极限的局部有界性： （3）保号性

1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零； 2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。 （4）列与子列极限极限的关系：

a

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2、极限的存在性定理与重要极限 定理1 单调有界的数列必有极限。 定理2 夹逼定理（数列及函数）： 重要极限：

x

sinxa 1

1； （2）lim(1 ) e； （3）lim lna。 （1）lim

x 0 0x 0xx

1

3、极限运算性质 （1）四则运算性质

（2）复合函数极限运算性质 注解： 问题：

（1）若{an}有界，liman是否一定存在？

n

（2）若liman A，当m n时，是否一定有|am A| |an A|？举例说明。

n

（3）若lim[f(x) g(x)]存在，limf(x)及limg(x)是否存在？若lim[f(x) g(x)]及

limg(x)存在，是否一定有limf(x)存在？

（4）若f(x) 0( 0)，且limf(x) A，是否一定有A 0( 0)？举例说明。

二、连续与间断

（一）基本概念 1、函数连续的定义

（1）函数在一点连续的定义及等价定义 （2）函数在闭区间上连续的定义 2、间断及其间断点的分类 （1）第一类间断点： （2）第二类间断点。

（二）闭区间上连续函数的性质 1、最值定理 2、有界定理 3、零点定理 4、介值定理

（1）最值型介值定理： （2）端点型介值定理：

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注解：

（1）初等函数在其定义域内连续；

（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。 问题：

（1）设f(x),g(x)都在x a处间断，则f(x) g(x),f(x) g(x),

f(x)2

,f(x)是否一定g(x)

在x a处间断？

（2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。

例题部分

一、填空题

ex 1

1、lim ______。

x 0xln(1 2x)

2、设2 x2 2~axb(x 0)，则a ___,b ___。

2

sinx tanx

______。

x 0x2arcsinx

ln[1 f(x)]f(x)

2lim ______。 4、设lim，则22x 0x 0xx

3、lim

f(x) bef(x) ea A，则lim ______。 5、设lim

x ax ax ax a

a 0,b 0,c 0)。 6、lim(a b c) ______(

n

nnn

1

n

x2nnn

x 0)。 7、lim[1 x ()] ______(

n 2

8、lim(

x 0

1

11

) ______。 x2xtanx

sin2x e2ax 1

,x 0

9、设f(x) 在点x 0处连续，则a ______。 x

a,x 0

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二、解答题

1、判别函数f(x) ln(x x2 1)的奇偶性，并求其反函数。 2、求下列极限：

(2x 1)2000(3x 2)10ln(x2 3x 1)

（1）lim。 （2）lim。

x x (5x 2)2010ln(x10 1)

xxxax bxx

（3）limcoscos2 cosn(x 0)。 （4）lim()(a 0,b 0)。

x 0x 02222

1

1x2

（5）lim(cos)。 （6）lim(2sinx cosx)x。

x x 0x

1

ln(ex x2) x2

（7）lim。 （8）limsinn 1 。 ______

n x 0ln(3x2 e3x) 3x

1

1 1121 cosx

1 sinx。 （9）lim ； （10）limx 0n 1 33 5(2n 1)(2n 1)

（11）lim

tanx sinx 1 tanx

。 ； （12）limx 01 sinxx 0x(1 cosx)

1

x3

3、证明数列,3 3, ,3 3 3极限存在，并求其极限。 4、设x1 1,xn 1 xn 0，证明数列{xn}收敛，并求limxn。

n

5、设a1,a2, ,an为常数，f(x) a1ln1( x) a2ln1( 2x) anln1( nx)。且

|f(x)| |x|，证明：|a1 2a2 nan| 1。

6、求极限lim(

n

12n

)。 n2 1n2 2n2 n

7、设f(x) C[a,b]，xi [a,b](1 i n)，ki 0(1 i n)且k1 k2 kn 1，证明：存在 [a,b]，使得f( ) k1f(x1) knf(xn)。

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第二讲 导数与微分

一、导数的基本概念

设y f(x)在x a的邻域内有定义， y f(a x) f(a)，若lim

y

存在，则

x 0 x

称函数y f(x)在点x a可导，极限称为函数y f(x)在x a处的导数，记为f (a)。 注解：

il（1）若m

y y

(a)，il存在，称此极限为函数f(x)在x a处的右导数，记为f 若m

x 0 x x 0 x

(a)，函数f(x)在x a处可导存在，称此极限为函数f(x)在x a处的左导数，记为f (a)与f (a)都存在且相等。 的充分必要条件是f

（2）导数的等价定义

f (a) lim

yf(x) f(a)

，f (a) lim。

x 0 xx ax a

注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。

问题：

（1）设f (a)存在，问lim

h 0

f(a 3h) f(a 2h)

是否存在？若存在求之，不存在举反例

h

说明。 （2）设lim

h 0

f(a 2h) f(a h)

存在，问f (a)是否存在？若存在证明之，若不存在举

h

反例说明。 （3）设lim

h 0

f(1 cosh) f(0)

存在，f (0)是否存在？说明理由。 2

ln(1 h)

1

f(a ) f(a)

n (a)是否存在？说明理由。 （4）设lim存在，f

n 1/n

（5）设f(x)在x a处可导，问f (x)是否在x a处连续？ （6）f(x)在x a处可导，是否有f(x)在x a的邻域内连续？ （7）是否存在只有一个可导点的函数？

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二、求导工具

（一）求导基本公式

1、(C) 0（常数函数导数公式）； 2、(xa) axa 1，特殊情形(x)

11

,() 2（幂函数导数公式）； xx2x

1

3、(ax) axlna，特殊情形(ex) ex（指数函数导数公式）； 4、(logax)

11

，特殊情形(lnx) （对数函数导数公式）； xlnax

5、（三角函数导数公式）：

1）(sinx) cosx； 2）(cosx) sinx； 3）(tanx) sec2x； 4）(cotx) cscx； 5）(secx) secxtanx； 6）(cscx) cscxcotx； 7）(sinx) sin2x； 8）(cosx) sin2x； 9）(sinxcosx) cos2x。 6、（反三角函数导数公式）： 1）(arcsinx)

2

2

2

1 x

2

； 2）(arccosx)

1 x

2

；

3）(arctanx) 7、补充公式： 1）(sinx)

x

(n)

11

(arccotx) ； 4）。

1 x21 x2

n n (n)

sin x ； 2）(cosx) cos x ；

22

x

3）[ef(x)] e[f(x) f (x)]。 （二）求导法则

1、四则求导法则 （1）(u v) u v ；

（2）(uv) u v uv ，(ku) ku ；

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（3）()

uvu v uv

； 2

v

0(n)1(n 1)n

（4）(uv)(n) Cnuv Cnuv Cnuv(n)。

2、复合函数求导法则

设y f(u),u (x)皆可导，则y f[ (x)]可导，且3、反函数的导数

设y f(x)与x g(y)互为可导的反函数，且g (y) 0，则f (x) 注解：

（1）原函数与其反函数的导数之间为倒数关系； （2）二阶导数之间没有这种关系。

dydydu f (u) (x)。 dxdudx

1

。 g (y)

三、可微与微分

1、可微的定义

2、连续、可导与可微的关系 3、一阶微分形式的不变性 4、求导类型

（1）显函数的导数； （2）参数方程的导数； （3）隐函数的导数；

（4）变积分限的函数的导数； （5）分段函数的导数； （6）高阶导数。

例题部分

1、设f (x0)存在， （1）求lim

h 0

f(x0 ah) f(x0)f(x0 ah) f(x0 bh)

(ab 0)。 ； （2）lim

h 0hh

x 2

2、设f(x)在x 2处连续，且lim

f(x)

1，求f (2)。 2

x 4

3、设对任意的x,y ( , )，有f(x y) f(x)f(y)，且f (0) 1，证明f(x)处处可导。

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4、设y f(x)与y ln(1 2x)在坐标原点处相切，求limnf()。

n

1

n

1f(a )

)n。 5、设f(x)在x a处可导，且f(a) 0，求lim(

n f(a)

6、求下列函数的导数：

（1）y eln(1 2x) tan(1 e) ln ； （2）y x（3）设xy yx，求

x

2

2x

2x

sin2x e

2

sin

1

x

；

dydy； （4）tan(x y) 3x2y 2x 5，求； dxdx

2

x 1 td2ydyxy

（5）设e tan(xy) y，求； （6）设 ，求； 2

y arctantdxdxx 0

x t ln(1 t)d2y

（7）设 ，求。 232

dx y t t

1 2

xsin sinx,x 0

7、（1）设f(x) ，讨论函数f(x)在x 0处的连续性和可导性。 x

ln(1 x),x 0

x sinx 2ae,x 0

（2）设f(x) 在x 0处可导，求常数a,b。 3

9arctanx 2b(x 1),x 0

g(x) sinx 1

,x 0

（3）设f(x) ，其中g(0) 1,g (0) g (0) 2，且f(x)在x

ax b,x 0

x 0处可导，求a,b。

8、（1）设f(x) ln(3 2x)，求f（3）设f(x)

(n)

(x)； （2）设f(x)

1(n)

，求f(x)； 2

x 5x 6

x 3(n)x(n)

，求f(x)； （4）设f(x) esinx，求f(x)。 2

x 2x 8

(101)

（5）设f(x) (x 1)(x 2)(x 3) (x 100)，求f (1)及f

(x)。

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第三讲 一元函数微分学的应用

一、 中值定理

1、（罗尔定理）设f(x) C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a) f(b)。则存在 (a,b)，使得f ( ) 0。

2、（拉格朗日定理）设f(x) C[a,b]，在(a,b)内可导。则存在 (a,b)，使得

f ( )

f(b) f(a)

。

b a

3、（柯西定理）设设f(x),F(x) C[a,b]，在(a,b)内可导，F (x) 0(a x b)。则存在 (a,b)，使得

f(b) f(a)f ( )

。

F(b) F(a)F ( )

4、（泰勒定理）设f(x)在x a的邻域内有直到n 1阶导数。则有

f (a)f(n)(a)2f(x) f(a) f (a)(x a) (x a) (x a)n Rn(x)，

2!n!

f(n 1)( )

其中Rn(x)称为余项，Rn(x) 其中 介于a与x(x a)n称为拉格朗日型余项，

(n 1)!

之间；Rn(x) o((x a)n)称为皮亚诺型余项。

注解：

1、中值定理中的条件是结论成立的充分条件，而非必要条件。

2、柯西中值定理中F (x) 0(a x b)用以保证定理结论的等式两端分母不可能为零。 3、常用的马克劳林公式

x2xn

o(xn)； （1）e 1 x 2n!

x

x3( 1)n2n 1

（2）sinx x x o(x2n 1)；

3!(2n 1)!

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x2x4( 1)n2n

（3）cosx 1 x o(x2n)；

2!4!(2n)!

1

1 x x2 xn o(xn)； 1 x1

1 x x2 ( 1)nxn o(xn)； （5）

1 x

（4）

x2x3( 1)n 1n

x o(xn)； （6）ln(1 x) x 23nx2xn

o(xn)。 （7） ln(1 x) x 2n

4、设f(x)在x x0的邻域内有n阶连续导数，则

f (x0)f(n)(x0)2

f(x) f(x0) f (x0)(x x0) (x x0) (x x0)n o((x x0)n)

2!n!

二、函数的单调性与极值

1、函数的单调性

（1）定义：

（2）函数单调性判别法： 2、函数的极值

（1）函数极值的定义：

（2）必要条件（函数的极值点一定是函数的驻点或者不可导的点，反之不对）。 （3）函数极值的判别： 1）第一充分条件： 2）第二充分条件：

三、函数的最值

1、设f(x) C[a,b]，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。 2、实际问题最优解。

3、具有唯一驻点的函数最值的讨论。

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注解：

闭区间上连续函数的最大值和最小值不一定是其极大和极小值。

四、函数的凹凸性与拐点

1、曲线的凹凸及拐点的定义： 2、曲线凹凸性的判别方法：

五、渐近线

1、铅直渐近线：若limf(x) ，称x a为曲线y f(x)的一条铅直渐近线；

x a

2、水平渐近线：若limf(x) A，称y A为曲线y f(x)的一条水平渐近线；

x

3、斜渐近线：设y ax b为一条直线（其中a 0），若lim[f(x) ax b] 0，称直

x

线y ax b为曲线y f(x)的一条斜渐近线。若lim

x

f(x)

a( 0, )，x

lim[f(x) ax] b，则直线y ax b为曲线y f(x)的一条斜渐近线。

x

六、函数图象的描绘的步骤

1、求函数的定义域；

2、求函数的一阶导数和二阶导数，并求出函数的驻点及不可导的点、二阶导数的零点及二阶不可导的点；

3、求出函数的单调区间和凹凸区间及函数的极值点和拐点； 4、求函数的铅直、水平及斜渐近线； 5、描图。

七、弧微分、曲率与曲率半径

1、弧微分

2

（1）设曲线L:y f(x)，则ds f (x)dx；

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（2）设曲线L:

x (t)22

，则ds (t) (t)dt；

y (t)

r( )2 r 2( )d 。

（3）设曲线L:r r( )，则ds 2、曲率及曲率半径 （1）曲率：K

|y |(1 y 2)

32

；

（2）曲率半径：R

1。 K

例题部分

一、选择题

1、设f(x)在x 0的邻域内连续，且lim

f(x)

2，则在x 0处f(x) （ ）

x 01 cosx

(A)不可导； (B)可导且f (0) 2； (C)取极大值； (D)取极小值。

2、函数f(x) x 2x q的零点个数是 （ ）

3

(A)1个； (B)2个； (C)3个； (D)个数与q有关。

2

3、设函数f(x)满足f (x) [f (x)] x，且f (0) 0，则 （ ）

(A)f(0)是f(x)的极大值； (B)f(0)是f(x)的极小值；

(C)(0,f(0))是y f(x)的拐点； (D)f(0)非f(x)极值，(0,f(0))非y f(x)拐点。

二、解答题

1、设f(x) C[a,b]，在(a,b)内可导，且f(a) f(b) 0，证明：存在 (a,b)，使得f( ) f ( ) 0。

2、设f(x) C[a,b]，在(a,b)内可导（a 0），且af(b) bf(a)，证明：存在 (a,b)，使得f ( )

f( )

。

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3、设f(x) C[a,b](a 0)，在(a,b)内可导，证明：存在 , (a,b)，使得 f ( )

f ( )

(a b)。 2

4、设0 a b。证明：存在 (a,b)，使得aeb bea (1 )e (a b)。

5、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，连接(a,f(a)),(b,f(b))两点的直线与曲线y f(x)交于点(c,f(c)),(a c b)，证明：存在 (a,b)，使得f ( ) 0。 6、证明下列不等式：

（1）设f(0) g(0),f (0) g (0),f (x) g (x)。证明：当x 0时，f(x) g(x)。 （2）证明：ex 1 x(x 0)。

ab

（3）设a b e，证明：b a。

7、（1）研究方程xlnx k 0的实根个数。 （2）讨论方程xe

x

a(a 0)根的个数。

第四讲 不定积分

一、原函数与不定积分

1、设f(x),F(x)(x I)为两个函数，若对任意的x I有F (x) f(x)，则称F(x)为

f(x)的原函数。

注解：

（1）连续函数一定存在原函数，反之不对； （2）有第一类间断点的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能存在原函数，

111 2

2xsi co,x 0xsin,x 0

如 f(x) ，。 F(x) xxx

0,x 0 0,x 0

（3）若一个函数存在原函数，则一定存在无穷多个原函数，且任意两个原函数之间相差常数。

2、不定积分—一个函数的所以原函数称为该函数的不定积分，记为

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注解： （1）

f(x)dx F(x) C。

dd

f(x)dx f(x)， dxf(x)dx f(x) C； dx

（2）一个可导的奇函数，其导函数及原函数皆为偶函数；

（3）一个可导的偶函数，其导函数一定为奇函数，但其原函数不一定为奇函数。 （4）周期函数的导数一定为周期函数，但其原函数不一定为周期函数。

二、不定积分的性质

1、[f(x) g(x)]dx

f(x)dx g(x)dx；

2、kf(x)dx kf(x)dx。

三、不定积分基本公式

1、kdx kx C；

a

2、xdx

11

xa 1(a 1)， dx ln|x| C； a 1x

ax

3、 adx C， exdx ex C；

lna

x

4、（1）sinxdx cosx C； （2）cosxdx sinx C； （3）tanxdx ln|cosx| C； （4）cotxdx ln|sinx| C； （5）secxdx ln|secx tanx| C； （6）cscxdx ln|cscx cotx| C；

22

（7）secxdx tanx C； （8）cscxdx cotx C；

（9）secxtanxdx secx C； （10）cscxcotxdx cscx C。

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5、（1）

1 x2

dx arcsinx，

x

dx arcsin C；

aa2 x2

1

111x

dx arctanx C arctan C； ， 1 x2 a2 x2

aa

11x a

ln|| C； （3） 2

2ax ax a2

（2）（4）

1x2 a2

1x2 a2

2

2

dx ln(x x2 a2) C；

（5）

ln|x x2 a2| C；

（6）

a2xx

a xdx arcsin a2 x2 C。

2a2

四、积分法

1、换元积分法

（1）第一类换元积分法

f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)

（2）第二类换元积分法

t (x)

f(t)dt F(t) C F[ (x)] C。

f(x)dx f[ (t)] (t)dt g(t)dt G(t) C G[ 1(x)] C。

x (t)

2、分部积分法

udv uv vdu。

3、特殊函数的积分 （1）有理函数的积分： （2）三角有理函数的积分： （3）无理函数的积分：