《现代信号处理》讲义-胡广书 第12章 双正交小波及小波包

第12章

双正交小波及小波包

第12章 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

双正交小波及小波包双正交滤波器组双正交小波双正交小波的构造双正交样条小波正交小波包

第12章 双正交小波及小波包

引言

Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN，SymN ，CoifN )。但是，正交小波也有不 足之处，即和都不是对称的，尽管 SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。

第12章 双正交小波及小波包

内容简介

先给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念

aH((zz))00

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12.1双正交滤波器组

方法：结合小波变换的需要来研究双正交滤

波器组的内在关系及实现准确重建的条件

a(z)(z)对 小波变换的需要 ：用H 分解时需

H(z)和H(z)的系数作时间上的翻转 要将

1

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双正交小波及小波包

分析下图中各信号之间的关系及实现PR的条件a0 ( n )

H0 (z-1)

↓2↓2

a1 (n)

a1 ( n )

↑2↑2d1 ( n)

H0 (z) H1 (z)

a0 ( n )

H1 (z-1)

d1 (n)

图(1)

根据两通道滤波器组的理论，有下式a1 ( n ) a 0 ( n ) h0 ( 2 n )

ak

0

( k )h0 ( k 2 n ) a 0 ( k ), h0 ( k 2 n )

(1)

d 1 ( n ) a 0 ( n ) h1 ( 2 n )

(2)

ak

0

( k )h1 ( k 2 n ) a 0 ( k ), h1 ( k 2 n )

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双正交小波及小波包' ' a 0 ( n ) a 1 ( n ) h 0 ( n ) d 1 ( n ) h1 ( n )

l

a1 (l )h0 (n 2l )

l

d 1 ( l ) h1 ( n 2 l )

将(1),(2)式带入，可得 a 0 (n )

l

a 0 ( k ), h 0 ( k 2 l ) h 0 ( n 2 l )

l

a 0 ( k ), h 1 ( k 2 l ) h 1 ( n 2 l )

l

h 0 ( k 2 l ), h 0 ( n 2 l ) a 0 ( k )

l

h 1 ( k 2 l ), h 1 ( n 2 l ) a 0 ( k )

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双正交小波及小波包

显然，如果 h0 (k 2l ), h0 (n 2l ) (n k )

h1 (k 2l ), h1 (n 2l ) (n k )

则

a 0 ( n ) 2a 0 ( n )

从而实现了准确重建。

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定理12.1 对前图所示的两通道滤波器组，对任意的输入信

号，其准确重建的充要条件是：

** 1( ) 0H0( )H0( ) H1( )H (12.1.6a)及 ** 1( ) 2H0( )H0( ) H1( )H (12.1.6b)

由此定理，可以得出双正交滤波器组中的若干基本关系

** H( )H( ) H( )H（1） 去除混迭条件：0011( ) 0（2） PR条件：

* 1( ) 2H( )H0( ) H1( )H*0

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(3) 保证PR条件和滤波器均为FIR的情况下，四个滤波器在时域和频域的关系：

H1( ) e

j(2l 1)

H0( )

j(2l 1) H1( ) eH0( )

( z 1)H1(z) z (2l 1)H0 1(z) z (2l 1)H0( z 1)H

(1 n)h1(n) ( 1)n 1h0

n 1 h1(n) ( 1)h0(1 n) （时域）

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H

( )H 0( ) H0( )H

0( ) 2H

1

( )H 1( ) H1( )H

1( ) 2H

( )H 1( ) H0( )H

1( ) 0H

1( )H 0( ) H1( )H 0( ) 0

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(z)HH(z)0H(z)0 定理12.2 如果图12.1.1中的四个滤波器 ， ， 和

1

(z)满足准确重建条件，且它们的傅里叶变换均是有界的，则H1

(n 2l),h (n 2l)},l Z和 {h(n 2l),h(n 2l)},l Z{h0101

L(R)中的双正交Riesz基。 是

H1(z)之H0(z) 注意: 在双正交滤波器中，我们并没有强调 和

间的正交关系，而这一正交关系是共轭正交滤波器组中的基本关系。在小波的多分辨率分析中，使用正交滤波器组时，分解滤波器和重建滤波器是相同的，而在双正交小波

HH0和 分析中，分析滤波器是 1，而综合滤波器是它们的对

0和H 1。偶，即 H

2

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12.2双正交小波 信号的离散小波变换WTx ( j, k ) x (t ) j,k (t )dt x (t ), j,k (t ), j, k Z令d j ( k ) WT x ( j, k ),则称 d j (k )为小波系数，也即 x (t )的DWT。可由d j (k )重建 x (t )x (t )

j 0 k

d

j

( k ) j,k (t )

j 0 k

x (t ), j,k (t ) j,k (t )

式中 j,k ( t )是

j,k

(t )的对偶小波

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j,k(t)用于信号的综合。在 j,k(t)用于信号的分析，对偶小波

正交小波的情况下， 。

j,k(t) j,k(t)

在“双正交”的情况下，第七章及第十章所讨论的滤波器组及

两尺度差分方程各增加了一套“对偶 ”， H即 ， ； ， ； ， 和 ， 。 HH H0110

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双正交小波基的存在性 定理12.3假定存在两个恒正的三角多项式和，使得H 0 ( ) p ( ) H 0 ( ) p ( ) 2 p ( ) 2 2 2 2

2

2

(12.2.14a) (12.2.14b)

H 0 ( ) p( ) H 0 ( ) p( ) 2 p( )2 2 2 2

2

2

并假定 H 0 ( )、 H 0 ( )在 2 2内非零，

则 (t )和 ( t )属于 L2 ( R ) 1、由(12.2.12)式定义的，且满足双正交关系 (t ), (t n ) ( n ) (12.2.15)~

j,k (t )和 j,k (t ) L2 ( R )中的双正交Riesz基， 2、两个小波函数序列是

即

j,k (t ), j',k ' (t ) ( j j ' ) (k k ' )

(12.2.16)

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有了L2 ( R )中的双正交基，我们可对 x (t )作如下的分解：x (t )

x ( t ),

j 0 k

j,k

( t )

j,k

(t )

x ( t ),

j 0 k

j,k

(t )

j,k

(t )

既然 j,k (t ), j,k (t )是 L2 ( R )中的Riesz基，则必然存在数 A 0, 0, B使得 2 2 2 A x (t ) x (t ), j,k (t ) B x (t ) (12.2.18a)j,k

1 2 x (t ) x (t ), j,k (t ) B j,k

2

1 x (t ) A

2

(12.2.18b)

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{ }{ }j,k和 在双正交的情况下，我们并不要求 j,k之

{ j,k}和{ j,k}之间，以及其对间是正交的，也不要求

{ j,k'} j,k}之间是正交的，仅要求{ j,k}和 { j,k}和 { 偶函数

{ j,k}和{ j',k}之间是正交的，也即(12.2.15) 之间以及

H1(z)具 H0(z)及 和(12.2.16)式。正交性的放宽是使

(t) (t)和 有线性相位，从而使 更具有对称性，从

而减小了相位失真。

'

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