《数列5》福建西山学校高三数学优秀课件

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第5讲 数列的综合应用

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【2013年高考会这样考】 1.以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式 和前n项和公式. 2.考查数列与函数、不等式等交汇的问题.

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【复习指导】 1.本节复习时，需要有扎实的基本功，通过一定量的题型训 练，掌握解题的通性、通法，但不要一味地做难度较大的题 目. 2.认真研究数列与其他知识点的交汇题，以增加解题经验， 选准突破口. 3.对数列应用题，要培养从中筛选信息的能力以及建立数列 模型的能力.

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基础梳理 1.等比数列与等差数列比较表

不同点 等差 数列 (1)强调从第二项起每一项与前 项的差；(2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一 (1)强调从第二项起每一项与前 等比 项的比；

相同点 (1)都强调从第二项起每 一项与前项的关系；

(2)结果都必须是同一个常数； (3)数列都可由a1,d

数列 (2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值考基自主导学

或a1,q确定考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

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2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转 化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.

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3.数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型 是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不 固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系， 还是Sn与Sn+1之间的递推关系.

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一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识 相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.解决此类题 目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解. 两个提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数 列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指 明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等 差、等比数列的相关知识解决问题.考基自主导学 考向探

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(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质.等 差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究 数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有 着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛 的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也 将受到越来越多的关注. 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性 质(多为单调性). (2)数列与不等式结合时需注意放缩. (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想.考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

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双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列，则 a2 的值为( A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 解析 由题意知：a2=a1a4.则(a2+2)2=(a2-2)(a2+4),解得： 3 ).

a2=-6. 答案 B

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2.(2011· 运城模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,且 4a1,2a2,a3成等差数列，则S4=( A.7 C.15 解析 B.8 D.16 设数列{an}的公比为q,则4a2=4a1+a3,∴4a1q=4a1+ ).

a1q2,即q2-4q+4=0, 1-24 ∴q=2.∴S4= =15. 1-2 答案 C

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3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}是等差 数列，且a6=b7,则有( A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9与b4+b10的大小关系不确定 ).

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解析 记等比数列{an}的公比为q(q>0),由数列{bn}为等差数 列可知b4+b10=2b7,又数列{an}是各项均为正数的等比数列， 1+q6 ∴a3+a9=a3(1+q6)=a6 3 q 1+q6 =b7 3 q

1+q6 1 ,又 = 3+ q3 q

q3≥2(当且仅当q=1时，等号成立),∴a3+a9≥2b7,即a3+ a9≥b4+b10. 答案 B

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4.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数 列，且a+3b+c=10,则a=( A.4 B.2 C.-2 D.-4 解析 由c,a,b成等比数列可将公比记为q,三个实数a,b, ).

c,待定为cq,cq2,c.由实数a、b、c成等差数列得2b=a+c, 即2cq2=cq+c,又等比数列中c≠0,所以2q2-q-1=0,解一 1 元二次方程得q=1(舍去，否则三个实数相等)或q=- 2 ,又a a 5 +3b+c=a+3aq+q=-2a=10,所以a=-4. 答案 D考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练

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5.(2012· 苏州质检)已知等差数列的公差d<0,前

n项和记为 Sn,满足S20>0,S21<0,则当n=________时，Sn达到最大 值. 解析 ∵S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)>0,

S21=21a11<0,∴a10>0,a11<0, ∴n=10时，Sn最大. 答案 10

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考向一

等差数列与等比数列的综合应用

【例1】 在等差数列{an}中，a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项an; (2)令bn=2an-10,证明：数列{bn}为等比数列. [审题视点] 第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an;第(2)问利 用定义证明.

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(1)解

由an=a1+(n-1)d,a10=30,

a +9d=30, 1 a20=50,得方程组 a1+19d=50, a =12, 1 解得 d=2.

∴an=12+(n-1)· 2=2n+10.

(2)证明

由(1),得bn=2an-10=22n+10-10=22n=4n,

bn+1 4n+1 ∴ b = 4n =4. n ∴{bn}是首项是4,公比q=4的等比数列.

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