北京市各区2013年中考二模数学试题分类汇编：综合题(含答案)

2013年初三二模分类试题—综合题

西城、解答题

1．在平面直角坐标系xOy中， A，B两点在函数C1:y

k1x

(x 0)的图象上，

其中k1 0．AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且 AC=1．

(1) 若k1=2，则AO的长为，△BOD的面积为 (2) 如图1，若点B的横坐标为k1，且k1 1，当AO=AB时，求k1的值； (3) 如图2，OC=4，BE⊥y轴于点E，函数C2:y

k2x

(x 0)的图象分别与线段BE，

BD交于点M，N，其中0 k2 k1．将△OMN的面积记为S1，△BMN的面积记为S2，若S S1 S2，求S与k2的函数关系式以及S的最大值．

2．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点

N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．

(1) 如图1，当∠BAC=60°时，点M，N，G重合． ①请根据题目要求在图1中补全图形；

②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________； (2) 如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；

(3) 当∠BAC=36°时，我们称△ABC为―黄金三角形‖

，此时直接写出GM的长．

图

1

图

2

备用图

BCAC

2

EH=4，

3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛

物线W的顶点．当点A在直线l上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．

应用上面的结论，解决下列问题：

如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1:y x 2．点A是直线l1上的一

个动点，且点A的横坐标为t．以A为顶点的抛物线C1:y x2 bx c与直线l1的另一个交点为点B．

(1) 当t 0时，求抛物线C1的解析式和AB的长；

(2) 当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标； (3) 过点A作垂直于y轴的直线交直线l2:y

2

12

x于点C．以C为顶点的抛物线

C2:y x mx n与直线l2的另一个交点为点D．

①当AC⊥BD时，求t的值；

②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的t的取值范围．

图2

备用图

海淀4．已知：抛物线y ax (a 2)x 2过点A(3,4)． （1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线y ax (a 2)x 2在直线y 1下方的部分沿直线y 1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G．点M m,y1 在图象G上，且y1≤0．

①求m的取值范围；

且满足y2≥4恒成立，则k的取值范围为． ②若点N m k,y2 也在图象G上，

5．如图1，在△ABC中，AB＝AC， ABC . 过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．

2

2

图1 图2 （1）求证：AC AD；

（2）点G为线段CD延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转 ，与射线BD交于点E．

①若 ，GD 2AD，如图2所示，求证：S DEG 2S BCD； ②若 2 ,GD kAD，请直接写出

S DEG

的值（用含k的代数式表示）． S BCD

6. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(0,2)，过点A作直线l垂直y轴，点B是直线且ÐOBA=a.过点B作直线l的垂l上异于点A的一点，

线m，点C在直线m上，且在直线l的下方，ÐOCB=2a.设点C的坐标为(x,y).

（1） 判断△OBC的形状，并加以证明；

（2） 直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量

的取值范围）；

（3） 延长CO交（2）中所求函数的图象于点D.求证：CD=CO×DO.

东城7. 已知：关于x的一元二次方程(m 1)x (m 2)x 1 0（m为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）求证：抛物线y (m 1)x2 (m 2)x 1总过x轴上的一个定点；

（3）若m是整数，且关于x的一元二次方程(m 1)x (m 2)x 1 0有两个不相等的

整数根时，把抛物线y (m 1)x (m 2)x 1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

8. 在矩形ABCD中，AB 4，BC 3，E是AB边上一点，EF CE交AD于点F，过

点E作 AEH BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N. （1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；

（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE x，DN y，求y与x之间的函数关系

式，并写出自变量x的取值范围；

（3）连结AC，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段DN的长

.

2

2

2

9．定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点. （1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____； 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______ .

（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d.

（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的

距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长 .

朝阳10．已知关于x的一元二次方程x2m)xm = 0．

（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）此方程有一个根是，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线yx2m)xm

向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线yxb与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2bx与x轴交于点A，0)、

B(6，0)，与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动 点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），

当cosα=

3

，且旋转后点P的对应点P'恰好落在x轴上时，求点P的坐标． 5

12. 在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得

∠EGB=∠EAB，连接AG.

（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG；

（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG、

AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的

数量关系，并证明你的结论.

F

房山13.已知二次函数y=x kx

2

F

图1

图2

图3

17

k-． 22

（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；

（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程 x2＋2(a＋k)x＋2a－k2＋6 k－4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．

14.（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；

（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD. 求证：①FG+BE

;

②∠HGF=∠HDF.

15.已知抛物线y 3-m x2 2 m-3 x 4m-m2的最低点A的纵坐标是3，直线

AG

DB

第24题图1

FB

E

第24题图2

F

B

E

第21题图3

F

y mx b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C.

（1）求抛物线与直线AB的解析式.

（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值.

（3）过B点作x轴的平行线BG,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450的点N的坐标.

第25题图

门头沟16． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y

原点O， 点B(－2,n)在这条抛物线上. （1）求抛物线的解析式；

m 422m 7

x x m2 6m 8经过83

（2）将直线y 2x沿y轴向下平移b个单位后得到直线l， 若直线l经过B点，求n、

b的值；

（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，

且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.

17．已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD

（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，

连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是

，位置关系是 ；

（2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α (0 90 )．连

结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将图1中的 △COD绕点 O逆时针旋转到使 △COD的一边OD恰好与

△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点． 请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．

B

D

M

D

C

B

M

OC图1

O

图2

图3

18． 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）求直线AC的解析式；

（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在

点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？

2

怀柔19． 已知二次函数y x 2x m的图象C1与x

（1）求C1的顶点坐标；

（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，

0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；

（3）若P(n,y1),Q(2,y2)是C1上的两点,且y1解：

20. 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）

上任意一点，连结AM、CM.

（1） 当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； （3）当AM＋BM＋CM的最小值为 1时，求正方形的边长. 解： （1）

y2.直接写出实数n的取值范围.

21.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4， 抛物线y x2 bx c经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）b= ,c= ；

（2）点E是Rt△ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线 交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下,抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三 角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）b= ， c= ； （2） （3）

大兴22．已知：如图，抛物线L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）直接写出点A和抛物线L1的顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．

①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的

长度是否会因k值的变化而发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

23．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，ABAD = 3，BC = 4，以点D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转а至DE.

（1）当а=90°时，连结AE，则△EAD的面积等于___________（直接写出结果）； （2）当0°<а< 180°时，连结BE，请问BE能否取得最大值，若能，请求出BE的最大值；若不能，请说明理由；

（3）当0°<а< 180°时，连结CE，请问а为多少度时，△CDE

24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=

4

． 5

（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；

（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值． 丰台

25．已知关于x的方程x2 (m 2)x m 3 0. （1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）设抛物线y x2 (m 2)x m 3与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关

26．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转． （1）当点O为AC中点时，

①如图1， 三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；

②如图2， 三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，

若AO 1，求OE的值．

AC

4

OF

A A E

B

F

C

E

F

B

C

图1 图2

图3

OAB 90 ，27．如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，OA 2,AB

沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE.

3

，把△OAB2

（1）若过原点的抛物线y ax+bx c经过点B、E，求此抛物线的解析式；

（2）若点P在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点P作PQ x轴于点Q，

连结OP.若以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似，直接写出点P的坐标；

（3）若点M(－4，n) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B

的对应点为B′．

当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若

2

石景山28．如图，抛物线y x2 ax b过点A（－1，0），B（3，0），其对称轴与x

轴的交点为C, 反比例函数y

k

（x>0，k是常数）的图象经过抛物线的顶点D． x

（1）求抛物线和反比例函数的解析式．

（2）在线段DC上任取一点E，过点E作x轴平行线，交y轴于点F、交双曲线于点G，

联结DF、DG、FC、GC．

①若△DFG的面积为4，求点G的坐标； ②判断直线FC和DG的位置关系，请说明理由； ③当DF=GC时，求直线DG的函数解析式．

解：

29．如图，四边形ABCD、A1B1C1D1是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形A1B1C1D1可以绕中心O旋转,正方形ABCD静止不动．

（1）如图1，当D、D1、B1、B四点共线时，四边形DCC1D1的面积为； （2）如图2，当D、D1、A1三点共线时，请直接写出

O

x

y

CD1

= _________； DD1

（3）在正方形A1B1C1D1绕中心O旋转的过程中，直线CC1与直线DD1的位置关系是

______________,请借助图3证明你的猜想．

解：

B

B

B

图1 图2 图3

30．（1）如图1，把抛物线y x2平移后得到抛物线C1，抛物线C1经过点A( 4,0)和原点O(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y x2交于点Q，则抛物线C1的解析式为____________；图中阴影部分的面积为_____．

（2）若点C为抛物线C1上的动点，我们把 ACO 90时的△ACO称为抛物线C1的内接直角三角形.过点B(1,0)做x轴的垂线l，抛物线C1的内接直角三角形的两条直角边所在直线AC、CO与直线l分别交于M、N两点，以MN为直径的⊙D与x轴交于

E、F两点,如图2.请问：当点C在抛物线C1上运动时，线段EF的长度是否会发生变

化？请写出并证明你的判断．

解：

昌平31. 已知点A（a，y1）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线y

图1

图

2

12

x

2

12

x上.

（1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）当a=1时，求△ABC的面积；

（3）是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.

32．（1）如图1，以AC为斜边的Rt△ABC和矩形HEFG摆放在直线l上（点B、C、E、F在直线l上），已知BC=EF=1，AB=HE=2. △ABC沿着直线l向右平移，设CE=x，△ABC与矩形HEFG重叠部分的面积为y（y≠0）. 当x=

3

时，求出y的值； 5

（2）在（1）的条件下，如图2，将Rt△ABC绕AC的中点旋转180°后与Rt△ABC形成一个新的矩形ABCD，当点C在点E的左侧，且x =2时，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形HEFG绕着点E逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点D、H重合时，连接