§1.2 标量场及其梯度-

物理场及其分析 物理场的定义与表示：– 几何表示：等值面、矢量线 – 代数表示：基于坐标系的函数表示形式

场的研究角度：– 几何方法与代数方法 – 微分方法与积分方法 – 基于算子的简洁表示

§1.2 标量场及其梯度 1、标量场定义及图示 对于区域V 内的任意一点r,若有

某种物理量的一个确定的数值或标量函数 (r)与之对应，我们就称这个标r o

V

f ( r)

量函数 (r)是定义于V 内的标量场。 标量场有两种：

与时间无关的恒稳标量场，用 (r) 表示；

与时间有关的时变标量场，用 (r , t )表示。

形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面)。

其方程为f ( x, y, z ) const

等值线

2、梯度(1)梯度的导出右图中，由 ( x, y, z ) 点到邻近的 ( x dx, y dy, z dz) 点的微 分位移 d l 将导致场函数有一微分增量 df 线元矢量：

zdl

dl dxe x dye y dze z

+d ( x , y , z) o

(x+dx , y+dy , z+dz)

y

x 点位移导致 的改变

标量场的相应微增量 df 则为： f f f df dx dy dz x y z f f f df ( e x ey e z ) (dxe x dye y dze z ) x y z

f f f df ( e x ey e z ) dl x y z

标量场 f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 点的梯度(gradient) 定义为：

f f f gradf f ( e x e y e z ) x y z因此

df f dl

(2)方向导数与梯度的关系 f f f 偏导数 x 、 y 、 分别叫做 在x、y、z 方向 z

上的方向导数，用梯度表示为 f ( f ) x f e x x f ( f ) y f e y y f ( f ) z f e z z

推广到 (x,y,z) 在某点沿任意矢量 l 方向的方 向导数，则应表为 f ( f ) l f el l

式中，el是l 的单位矢量。

(3)梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数； 梯度的大小为该点标量函数 f 的最大变化率，

即该点最大方向导数； 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等 值线(面)相垂直的方向，它指向函数的增加方向 .

例1

电位场的梯度

与过该点的等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位减少的方向。

电位场的梯度

(4)哈密顿算子 (读作del或nabla) 直角坐标系中的具体形式为 ex ey ez x y z

使用 算符时注意几点： 单独存在没有任何意义； 算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必 须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性， 即 2 , 0

。

算符有不同的表达形式。 在不同坐标系中，

(5)梯

度的基本运算公式

c 0 ( cf ) c f

(c 为常数)

( f g ) f g ( f g ) g f f g

( f g ) g f f g g 2 f (u ) f (u) u

(6)梯度运算的几个基本关系式 相对坐标标量函数 f (r r )

f f证明 ：在直角坐标系中f (r r ) = f (x x ,y y ,z z ) 上式重写为 f f f f f f ex ey e z ( ex ey ez ) x y z x y z

等式若成立，则应有

f f x x

,

f f y y

,

f f z z

令 x x = X,y y = Y,z z = Z,应用复合函数求导法则可得 f f X f ( x x ) f f f X f ( x x ) f ; x X x X x X x X x X x X

即有

f f x x

同理可得

f f y y

,

f f z z

f f证毕。

相对位置矢量R = r r 的模 R = r r R R e R ReR 1 R 3 2 R R R

在直角坐标中

R ( x x )e x ( y y )e y ( z z )e zR ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2

则

R 1 ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 x 2 ( x x )2 ( y y )2 ( z z )2 x 1 2( x x ) ( x x ) 2 R R R ( y y ) y R R

同理有 于是

,

R ( z z ) z R

R R R ex ey ez x y z 1 R [( x x )e x ( y y )e y ( z z )e z ] e R R R

e 1 R 3 R R R R2

根据算符的微分特性可得 e 1 1 1 R 2 R 2 R R R R R R2

(R 0)

例 2

求 f = 4e 2x y+ z 在点P1(1,1, 1)处的由该点指向 f (4e2 x-y z ) 4 (e 2 x-y z ) 4e2 x-y z (2 x y z ) 4e2 x-y z (2 e x e y e z ) fP 1

P2( 3,5,6)方向上的方向导数。 解：

4e 2-1-1 (2 e x e y e z ) 4(2 e x e y e z )R12 ( 3 1) e x (5 1) e y (6 1) e z R12 [( 4) 2 4 2 7 2 ]1/2 4 ex 4 e y 7 ez 81 4 ex 4 ey 7 ez 9

e12

于是，f 在P1 处沿R12 方向上的方向导数为： f R12 fP 1 P 1

e

12

4(2e x e y e z )

4e x 4e y 7e z 9

4 2 ( 4) ( 1) 4 1 7 20 9 9

例3

应用标量场的梯度与该标量场的等值面处处正交的概念，

求两曲面 x2 +y2+z2=9 和 x2+y2=z+3在P(2,-1,2)处相交的锐角。解：将这两个曲面分别看作是两个标量场的等值面，对应的 两个标量场函数为：

f1 = x2 + y2 + z2 f2 = x2+y2z f2(2,-1,2) f1(2,-1,2)

求P点处的梯度 f1 p 2 x e x 2 y ey 2 z ezp x y

S1z

S2

f 2

p

4e 2e 4e 2x e 2 y e 1e 4 e 2 e 1ex y z p x y2 2 2

P

z

f1 4 2 2 4 2 36 6 f 2 4 2 2 1 21

f1 f 2 f1 f 2 cos