圆锥曲线知识点梳理

圆锥曲线知识点梳理

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、圆：

1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2

(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为

( D2, E2

)半径是

E2

D

2

E2

2

4F

。配方，将方程x+y+Dx+Ey+F=0化为

22

(x+

D2

)2+(y+

2

2

)2=D

2

E4

2

-4F

D2

E2

②当D+E-4F=0时，方程表示一个点(-,-);

③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r 点M在圆C内，｜MC｜=r 点M在圆C上，｜MC｜＞r 点M在圆C内，其中｜MC｜=(x0-a)2 (y0-b)2。 （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 有两个公共点；直线与圆相切 有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离

d

Aa Bb CA B

2

2

与半径r的大小关系来判定。

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备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：双曲线x2 y2 a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y

x

，离心率e

2

.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.

xa

22

yb

22

与

xa

22

yb

22

互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

xa

22

xa

22

yb

22

0

.

⑸共渐近线的双曲线系方程：

xa

yb

yb

22

( 0)

的渐近线方程为

xa

22

yb

22

0

如果双曲线的渐近线为

0时，它的双曲线方程可设为

xa

22

yb

22

( 0)

.

p2

p2

【备注2】抛物线：（1）抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；

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抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-焦点坐标是(0,

p2

p2

,0)，准线方程x=

p2

，开口向左；抛物线x2=2py(p>0)的

)，准线方程y=-

p2

，开口向上；

p2

p2

抛物线x2=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.

p2

（2）抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF x0 的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF

p2

；抛物线y2=-2px(p>0)上

x0

p2

（3）设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为距离

p2

，顶点到准线的

，焦点到准线的距离为p.

（4）已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=x1 x2+p或AB

p

2

2psin

2

(α为直线AB的倾斜角)，y1y2 p2，

x1x2

4

,AF x1

p2

(AF叫做焦半径).

三、椭圆的常用结论：

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 2. 若P0(x0,y0)在椭圆3. 若P0(x0,y0)在椭圆线方程是

x0xa

2

xaxa

22

ybyb

22

1上，则过P0的椭圆的切线方程是

x0xa

2

y0yb

2

1.

22

22

1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直

y0yb

22

2

1.

4. 椭圆

xa

22

yb

1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点 F1PF2 ，则

椭圆的焦点角形的面积为S FPF b2tan

1

2

2

.

ba

22

5. AB是椭圆

xa

22

yb

22

1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM kAB

，即

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K

AB

bx0ay0

2

2

。

xa

22

6. 若P0(x0,y0)在椭圆

yb

22

1内，则被Po所平分的中点弦的方程是

x0xa

2

y0yb

2

x0a

2

2

y0b

2

2

；

四、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. 2、若P0(x0,y0)在双曲线3、若P0(x0,y0)在双曲线

xaxa

22

ybyb

22

1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

x0xa

2

y0yb

2

1.

22

22

1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，

y0yb

2

则切点弦P1P2的直线方程是

xa

22

x0xa

2

1.

4、双曲线

yb

22

（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点 F1PF2 ， 1

2

则双曲线的焦点角形的面积为S FPF b2cot

1

2

.

5、AB是双曲线

2

xa

22

yb

22

1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

bx0ay0

22

KOM K

AB

bx0ay0

2

，即KAB

。

五、 抛物线的常用结论： ①ay

2

by c x

顶点(

4ac b4a

2

b2a

).

P2

②y2 2px(p 0)则焦点半径PF

x

;x2 2py(p 0)则焦点半径为PF

y

P2

.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④y

2

2px

（或

x 2pt2

x 2py）的参数方程为

y 2pt

2

（或

x 2pt y 2pt

2

）（t为参数）.

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