2.3_数学归纳法(第二课时)

11-12学年高二数学：2.3 数学归纳法 课件(人教A 版选修2-2)

2.3 数学归纳法

习题课(2课时)

理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法 的证题步骤.

本节重点：数学归纳法的原理及步骤. 本节难点：用数学归纳法证题的步骤、技 巧.

1.数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下 列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取 第一个值n0(n0∈N*) 时 命题成立. ②(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立 .

2.应用数学归纳法时特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与 正整数n 有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤、 一个结论缺一不可.

在应用数学归纳法的过程中： 第①步，验证 n = n0 时结论成立的 n0 不一定为 1 ,根据题 目要求，有时可为2、3等. 第②步，证明n=k+1时命题也成立的过程中，一定要用 到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一步是 递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的. 另外，归纳假设中要保证 n从第一个数n0 开始，即假设n = k(k≥n0) 时结论成立，括号内限制条件改为 k>n0 就错 了. 用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的 增减变化，如证明恒等式和不等式中，n=1时究竟有几项， 从n=k到n=k+1的过渡到底项有哪些变化，添了几项， 减了几项.

1 1 1 n [例 1] 证明： + + + = .(n∈N*) 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2n+1

[分析] 第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成 立，第二步假定 n=k(k∈N*)时命题成立，即 1 1 1 k + + + = 成立， 并以 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) 2k+1 1 1 1 此作为条件来推证等式 + + + 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) k+1 1 + = 成立. (2k+1)(2k+3) 2(k+1)+1

[证明] 1

1 1 (1)当 n=1 时，左边= = ,右边= 1×3 3

1 = ,左边=右边，所以等式成立. 2×1+1 3 (2)假设 n=k(k≥1)时等式成立，即有 1 1 1 k + + + = , 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) 2k+1 则当 n=k+1 时，

1 1 1 1 + + + + 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) k(2k+3)+1 k 1 = + = 2k+1 (2k+1)(2k+3) (2k+1)(2k+3) 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = . (2k+1)(2k+3) 2k+3 2(k+1)+1 所以当 n=k+1 时，等式也成立. 由(1)、(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立.

[点评] 证明过程的关键是第二步由n=k 到n=k+1的过渡，要设法将待证式与归 纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标 的表达式变形.

1 1 1 1 1 1 n∈N ,求证：1- + - + + - = + 2 3 4 2 n 2n-1 n+1*

1 1 + + . 2n n+2

1 1 1

1 1 1 1 1 n∈N ,求证：1- + - + + - = + + + . 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2*

[证明]

1 1 1 1 (1)当 n=1 时， 左边=1- = , 右边= = . 2 2 1+1 2

左边=右边. 1 1 1 1 (2)假设 n=k 时等式成立， 即 1-2+3-4+ + - 2k-1 1 1 1 1 2k=k+1+k+2+ +2k,

1 1 1 1 1 1 1 1 n∈N ,求证：1- + - + + - = + + + . 2 3 4 2 n 2n 2n-1 n+1 n+2*

则当 n=k+1 时， 1 1 1 1 1 1 1 1 - + - + + - - + 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 1 1 1 1 1 = k+1+k+2+ +2k + 2k+1-2k+2

1 1 1 1 = + + + + . k+2 k+3 2k+1 2k+2 即当 n=k+1 时，等式也成立. 综合(1)、(2)可知，对一切 n∈N*,等式成立.

[例 2]

用数学归纳法证明：

1 1 1 1 1+ 2+ 2+ + 2<2- (n≥2). 2 3 n n

[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，在 由n=k到n=k+1的推证过程中应用了放 缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归 纳法证明不等式的常用技巧之一.

1 1 1 1 1+ 2+ 2+ + 2<2- 2 3 n n

(n≥2).

[证明]

1 5 1 3 1° 当 n=2 时，1+ 2= <2- = ,命题成立. 2 4 2 2

1 1 1 1 2° 假设 n=k 时命题成立，即 1+ 2+ 2+ + 2<2- 2 3 k k 1 1 1 1 当 n=k+1 时，1+ 2+ 2+ + 2+ < 2 3 k (k+1)2 1 1 1 1 1 1 1 2- + <2- + =2 - + - k (k+1)2 k k(k+1) k k k +1 =2- 命题成立. k+1 由 1° 、2° 知原不等式在 n≥2 时均成立. 1