全等三角形证明经典50题(含答案)1

全等三角形证明经典50题(含答案)

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

D

解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC

在△ACD和△BDE中 AD=DE

∠BDE=∠ADC BD=DC

∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD

1AB 2

延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP为平行四边形 又∠ACB=90

∴平行四边形ACBP为矩形

∴AB=CP=1/2AB

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE

在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。 ∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中 AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角）

∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

7. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

D

解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC

∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2

8. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD

1

AB

9. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF。

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。 ∴ ∠EBF=∠BEF。 又∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

10. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD

EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG

∴EF＝AC

11. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

B

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C

12. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC 又∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS） ∴∠A=∠

BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180º

∵∠BFE+∠CFE=180º ∴∠D=∠CFE

又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS） ∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE， ∴∠AED=∠ABD，

∴四边形ABDE是平行四边形。 ∴得：AE=BD， ∵AF=CD,EF=BC，

∴三角形AEF全等于三角形DBC， ∴∠F=∠C。

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。则： △AED是等腰三角形。 ∴AE=DE 而AB=CD

∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量） ∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C.

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB

A

D

在AC上取点E， 使AE＝AB。 ∵AE＝AB AP＝AP

∠EAP＝∠BAE， ∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB。 PC＜EC＋PE

∴PC＜（AC－AE）＋PB ∴PC－PB＜AC－AB。

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：

在AC上取一点D，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线， ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE

∴点E一定在直线BD上，

在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD ∴点E也是BD的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE

17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

∵作AG∥BD交DE延长线于G ∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF∽CDF

AF=AG=5 ∴DC=CF=2

18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

解：延长AD至BC于点E,

∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC

在△ABD和△ACD中 ｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC

19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

证明：

∵OM平分∠POQ ∴∠POM＝∠QOM ∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90 ∵OM＝OM

∴△AOM≌△BOM （AAS） ∴OA＝OB ∵ON＝ON

∴△AON≌△BON （SAS）

∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB＝180 ∴∠ONA＝∠ONB＝90 ∴OM⊥AB 20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

P

E

D做

BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC BA

∴∠

PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA

的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

A

延长AC到E

使AE=AC 连接 ED ∵ AB=AC+CD ∴ CD=CE 可得∠B=∠E △CDE为等腰 ∠ACB=2∠B 22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF； （2）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF．

23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： A

D C

证明： ∵DC∥AB

∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE＝BE ∴BE＝DC ∵DC∥AB

∴∠DCE＝∠BEC ∵CE＝CE

∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：BD=2CE． F

A

E

B

E 证明：

BC

∵∠CEB=∠CAB=90°

∴ABCE四点共元 ∵∠AB E=∠CB E

∴∠ECA=∠EAC

取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG

而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB ∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE

25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

D

E

F

C

AB

证明：∵DF=CE， ∴DF-EF=CE-EF， 即DE=CF，

在△AED和△BFC中，

∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）

26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：AM是△ABC的中线。

A

F

B

E

M

C

∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.

27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

A

D

B

C

∵△ABD和△BCD的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD⊥AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

A

D

B

C

F

在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD

∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC