数值计算方法上机实验报告

数值计算方法上机实验报告

上 华北电力大学

机 实 验 报

课程名称：数值计算方法 专业班级： 学生姓名： 学 号： 指导教师：

告

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一、列主元素消去法求解线性方程组 1.程序框图 2.算法原理

为避免绝对值很小的元素作为主元，在每次消元之前增加一个选主元的过程，将绝对值大的元素交换到主对角线的位置。列主元素消元法是当变换到第k步时，从k列的akk及以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过二交换将其交换到akk的位置上。

3.输入输出变量

aij

为系数矩阵的各个系数

k表示到第k步消元 4.具体算例

输入增广矩阵为： 3

二、LU分解法求解线性方程组1 2 -3 8 2 1 3 22 3 2 1 28

解得：x1=6，x2=4，x3=2；

1.算法原理

应用高斯消去法解n阶线性方程Ax b经过n 1步消去后得出一个等价的上三角形方程组A(n)x b(n)，对上三角形方程组用逐步回代就可以求出解来。

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这个过程也可通过矩阵分解来实现。

将非奇异阵分解成一个下三角阵L和上三角阵U的乘积

A LU

称为对矩阵A的三角分解，又称LU分解。

Ly b

根据LU分解,将Ax b分解为 形式,简化了求解问题。

Ux y 2.程序框图 3.输入输出变量

aij为系数矩阵元素

bi为常数矩阵系数

lij,ui分别为下、上三角矩阵元素 j

k表示第k步消元 4.具体算例

输入增广矩阵 3 2 3 4 39 3 -2 2 14 4 2 3 43 解得： 6 5 3

三、拉格朗日插值

1.算法原理

设函数y f(x)在区间[a,b]上有节点

x0,x1,,,xn上的函数值，构造一个次数不超过n次

nn 1

1,n,p(x) ax ax a1x a0,使 P xi yi,i 0, nn 1的代数多项式。即n

次代数插值满足在n+1个节点上插值多项式P(x)和被插值函数f(x)相等，而且插值多项式P(x)的次数不超过n次。

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要求n阶插值多项式 ，可以通过求方程组的解 得到。但由于解线性代数方程组的计算量比较大，构造插值多项式时，仍用基函数构造。

希望能找到满足以下条件的n 次多项式 l i(x)

0,

li(xj)

1,

j ij i

(j 0,1, ,n)

然后令

P(x) li(x)yi

i 0

n

，则显然有P (xi) = yi 。

除xi 点外, 其余xj 都是li(x) 的根，可设

x li(x) A(

x )( x (xx) (xn x)i1x) i1

其中A为常数, 由li (xi)=1可得

A

li(x)

1

(xi x (xxx0)i i1)( i

i1

x )

(xi

n) x

(x x0) x( xi 1)x( xi 1 )x (xn)

(xi x0) (xi xi 1)(xi xi )1 (xi xn)

n

j 0j i

(x xj)(xi xj)

(i 0,1, ,n)

上式为拉格朗日基函数。

利用拉格朗日基函数式l i(x), 构造多

项式

P(x) li(x)yi

i 0

n

为拉格朗日插值多项式。

2.程序框图 3.输入输出变量 (xi,yi)为插值节点

t为累乘所得的基函数 y为函数的近似值 4.具体算例

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构造插值多项式，求f（0.49）和f（0.51）。 输出：f（0.49）=18.3687 f（0.51）=15.6188 。

四、最小二乘法的曲线拟合 1.算法原理

记向量的某种范数

e 0, 1, , n

T

，要求残差 i按某种度量标准为最小，即要求向量e

e

e

最小。例如，可要求e的1-范数

或 范数

e

最小。但为了

便于微分计算，通常用2-范数：

N

2

e2 i2 F xi f xi

i 0

i 0

2

N

为最小，这种要求误差平方和最小的拟合成为曲线拟合的最小二乘法。 2.程序框图 3.输入输出变量

(xi,yi)为插值节点，且共有n+1个插值节点

a0,a1,a2为为拟合的二次多项式的系数 计算

a0N a1 xi am xim yi

a0 xi a1 xi2 am xim 1 xiyi

a0 xim a1 xim 1 am xi2m ximyi

a0,a1,a2即解

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输出结果： a0=0.0785714 a1=0.625453 a2=-0.0026505 Y（5）=3

五、改进欧拉方法求解常微分方程的初值问题 1.算法原理

改进欧拉公式

(0) yn

1 yn hf(xn,yn)

h(0)

f(xn,yn) f(xn 1,yn 1) yn 1 yn 2

先用显式欧拉公式作预报算出yn 1，再将它带入隐式欧拉公式的右边算出yn 1，

这样得到改进欧拉公式。

可表示为嵌套格式：

h

yi 1 yi f(xi,yi) f xi 1,yi hf(xi,yi) 2平均化形式

(i 0,...,n 1)

yp=yn+hf(xn,yn)

yc=yn+hf(xn

1,yp)

yn 1=1(yp+yc) 2

2.程序框图 3.输入输出变量

x0为x的初值，y0为y的初值， h为步长，N为计算次数。

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y'=(3*x*x 4*y*y) Y(0)=5 0≤x≤10 h=0.1 N=100

解得0.1 5.52318 0.2 6.09783 0.3 6.73002 0.4 7.42636 0.5 8.19407 0.6 9.04107 0.7 9.97603 0.8 11.0085 0.9 12.149 1 13.409 1.1 14.8012 1.2 16.3398 1.3 18.0402 1.4 19.9194 1.5 21.9964 1.6 24.2919 1.7 26.8289 1.8 29.6329 1.9 32.7318 2 36.1567 2.1 39.9418 2.2 44.1249 2.3 48.7478 2.4 53.8566

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2.5 59.5024 2.6 65.7416 2.7 72.6364 2.8 80.2556 2.9 88.6753 3 97.9795 3.1 108.261 3.2 119.623 3.3 132.178 3.4 146.051 3.5 161.382 3.6 178.323 3.7 197.042 3.8 217.728 3.9 240.586 4 265.844 4.1 293.755 4.2 324.596 4.3 358.676 4.4 396.334 4.5 437.947 4.6 483.93 4.7 534.74 4.8 590.886 4.9 652.928 5 721.484 5.1 797.238 5.2 880.947 5.3 973.445

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5.4 1075.66 5.5 1188.6 5.6 1313.4 5.7 1451.31 5.8 1603.69 5.9 1772.08 6 1958.15 6.1 2163.75 6.2 2390.95 6.3 2641.99 6.4 2919.4 6.5 3225.94 6.6 3564.66 6.7 3938.95 6.8 4352.54 6.9 4809.56 7 5314.56 7.1 5872.59 7.2 6489.21 7.3 7170.58 7.4 7923.49 7.5 8755.46 7.6 9674.78 7.7 10690.6 7.8 11813.2 7.9 13053.5 8 14424.2 8.1 15938.7 8.2 17612.2

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8.3 19461.5 8.4 21505 8.5 23763 8.6 26258.1 8.7 29015.2 8.8 32061.8 8.9 35428.3 9 39148.3 9.1 43258.9 9.2 47801.1 9.3 52820.2 9.4 58366.3 9.5 64494.8 9.6 71266.7 9.7 78749.7 9.8 87018.4 9.9 96155.4 10 106252

六、四阶龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题 1.算法原理

四阶龙格－库塔法公式：

yi 1 yi 6(K1 2K2 2K3 K4)K1 f(xi,yi)

K2 f(xi hh

2,yi 2K1)

K3

f(xi hh

,yi K2)

K4 f(xi h,yi hK3) 用f（x，y）在几个不同点的加权平均

值（线性组合）来代替准确的

f(xk h,y(xk h))的值，构造近似公式。

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再把近似公式与解的泰勒展开式进行比较，使前面的若干项相同，从而使近似公式达到一定的阶数。

这样龙格－库塔法保留了泰勒级数展开法的高阶局部截断误差，又避免了高阶导数的计算。 2.程序框图 3.输入输出变量

x0为x的初值，y0为y的初值，h为步长，N为计算次数。 4.具体算例

y'=3*x*x 4*y*y) Y(0)=5 0≤x≤10 h=0.2 N=100 解得 0.2 7.32213 0.4 8.92711 0.6 10.8813 0.8 13.2647 1 16.1744 1.2 19.7282 1.4 24.0696 1.6 29.3736 1.8 35.8537 2 43.7704 2.2 53.4419 2.4 65.2567 2.6 79.6891 2.8 97.3187 3 118.853 3.2 145.157

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3.4 177.285 3.6 216.528 3.8 264.461 4 323.006 4.2 394.515 4.4 481.856 4.6 588.535 4.8 718.834 5 877.981 5.2 1072.36 5.4 1309.78 5.6 1599.77 5.8 1953.95 6 2386.56 6.2 2914.94 6.4 3560.31 6.6 4348.56 6.8 5311.33 7 6487.26 7.2 7923.53 7.4 9677.8 7.6 11820.5 7.8 14437.5 8 17634 8.2 21538.2 8.4 26306.7 8.6 32131 8.8 39244.8 9 47933.6

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9.2 58546.1 9.4 71508.2 9.6 87340.1 9.8 106677 10 130296 10.2 159143 10.4 194377 10.6 237412 10.8 289976 11 354176 11.2 432591 11.4 528366 11.6 645347 11.8 788226 12 962740

12.2 1.17589e+006 12.4 1.43623e+006 12.6 1.75421e+006 12.8 2.1426e+006 13 2.61697e+006 13.2 3.19636e+006 13.4 3.90404e+006 13.6 4.76839e+006 13.8 5.82412e+006 14 7.11358e+006 14.2 8.68852e+006 14.4 1.06122e+007 14.6 1.29617e+007 14.8 1.58314e+007

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15 1.93365e+007 15.2 2.36176e+007 15.4 2.88465e+007 15.6 3.52331e+007 15.8 4.30338e+007 16 5.25614e+007 16.2 6.41985e+007 16.4 7.84121e+007 16.6 9.57725e+007 16.8 1.16977e+008 17 1.42875e+008 17.2 1.74508e+008 17.4 2.13144e+008 17.6 2.60334e+008 17.8 3.17972e+008 18 3.88371e+008 18.2 4.74356e+008 18.4 5.79378e+008 18.6 7.07652e+008 18.8 8.64327e+008 19 1.05569e+009 19.2 1.28942e+009 19.4 1.5749e+009 19.6 1.92358e+009 19.8 2.34946e+009 20 2.86963e+009

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心得体会：

在编写程序时我的最大体会就是，一定要细心。几乎在每一个程序的调试过

程中都会出现问题，而这些问题的存在都是因为一个小小的错误。

通过连续数周的上机编程，让我更加熟练地掌握了数值计算方法原理，也让

我对这学期所学的数值计算方法原理有了更深刻的认识。虽然编程的过程中遇到很多问题，例如迭代的次数以及循环的实现问题，但是通过查阅资料，和同学探讨，最终解决了这些困难并提高了编程能力，同时让我对程序流程图也有了更进一步的理解。通过自己编写程序，增强了我的读图能力，也为后续的编程课程打下基础。

总之，学习数值这门课程使我收获很大，同时也要感谢老师的辛勤付出。