量子力学教程(二版)习题答案

第一章 绪论

1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3m 0C。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8 h 31

d 3d ， h

c

ekT 1

cc

及 、d 2d 得

令x

8 hc1e

hc kT

5

，

1

d hc

，再由 0，得 .所满足的超越方程为 kTd

xex

5 x

e 1

hc

4.97，将数据代入求得 mT b, b 2.9 10 3m 0C 用图解法求得x 4.97，即得

mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长.

0hh 10

解： 7.09 10m 7.09A

p2mE

#

3

1.3. 氦原子的动能为E kT，求T 1K时氦原子的de Broglie波长。

2

0hhh 10

解： 12.63 10m 12.63A

p2mEmkT

其中m 4.003 1.66 10 27kg，k 1.38 10 23J K 1 #

1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场B 10T，玻尔磁子 B 0.923 10 23J T 1，求动能的量子化间隔 E，并与T 4K及T 100K的热运动能量相比较。

p21

2q2 解：（1）方法1：谐振子的能量E

2 2

可以化为

p22 E

2

q2 2E 2

2

1

的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a 2 E,b

2E

2

，相空间面积为

pdq ab

2 E

E

nh,n 0,1,2,

所以，能量E nh ,n 0,1,2,

方法2：一维谐振子的运动方程为q 2q 0，其解为

q Asin t

速度为 q A co s t ，动量为p q A cos t ，则相积分为

A2 2TA2 2T

pdq A 0cos t dt 2 0(1 cos t )dt 2 nh，n 0,1,2,

A2 2nhE nh ，n 0,1,2,

2T

v2 v

（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB ，得R

ReB

2

2T

2

再由量子化条件pdq nh,n 1,2,3, ，以 ,p Rv R eBR2分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为

2

pd pd 2 Rv 2 eBR nh，n 1,2, ，由此得半径为R

02

2

n

，n 1,2, 。 eB

11 eBR 122n

eB n BB 电子的动能为E v2 22 2 eB

2

动能间隔为 E BB 9 10 23J

热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为E kT，所以当T 4K时，E 4.52 10 23J；当T 100K时，E 1.38 10 21J

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？

hc

解：转化条件为h ec2，其中 e为电子的静止质量，而 ，所以 ，即有

ec

max

06.626 10 34

c 0.024A（电子的康普顿波长）。 318

ec9.1 10 3 10

h

第二章 波函数和薛定谔方程

2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令

(r，t) (r)f(t)

Et

(r)e

i J ( * * )

2m

iiii

Et Et Et Et* i

[ (r)e （ (r)e） *(r)e （ (r)e ）]

2m

i * * [ (r) (r) (r) (r)]2m

i

可见J与t无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：

11 ikr

(1) 1 eik r (2 ) e2

rr

从所得结果说明 1表示向外传播的球面波， 2表示向内(即向原点) 传播的球面波。

J 解：1和J2只有r分量

1 1

在球坐标中 r0 e e

rr rsin

J1与r同向。表示向外传播的球面波。

i **

(1) J1 ( 1 1 1 1)

2m

i 1ikr 1 ikr1 ikr 1ikr

[e(e) e(e)]r0

2mr rrr rr

i 111111

[( 2 ik) ( 2 ik)]r0

2mrrrrrr k k

r r203

mrmr

可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设 (x) eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？

i **

(2) J2 ( 2 2 2 )

2m

i 1 ikr 1ikr1ikr 1 ikr

[e(e) e(e)]r0

2mr rrr rri 111111

[( 2 ik) ( 2 ik)]r0

2mrrrrrr k k

2r0 3r

mrmr

∴波函数不能按(x)

* dx dx

2

dx 1方式归一化。

其相对位置几率分布函数为 2

1表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场

，x 0

0 x a U(x) 0，

，x a

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程

2d2

(x) U(x) (x) E (x) 2

2mdx

在各区域的具体形式为

2d2

1(x) U(x) 1(x) E 1(x) ① Ⅰ：x 0

2mdx2 2d2

2(x) E 2(x) ② Ⅱ： 0 x a 2

2mdx

2d2

Ⅲ：x a 3(x) U(x) 3(x) E 3(x) ③ 2

2mdx

由于(1)、(3)方程中，由于U(x) ，要等式成立，必须

1(x) 0 2(x) 0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

d2 2(x)2mE

方程(2)可变为 2 2(x) 0

dx2 2mE

令k2 2，得

d2 2(x)

k2 2(x) 0 2

dx

其解为 2(x) Asinkx Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 2(0) 1(0) ⑤

2(a) 3(a) ⑥

⑤ B 0

⑥ Asinka 0 A 0 sinka 0 ka n ( n 1, 2, 3, )

n

∴ 2(x) Asinx

a

由归一化条件 得 A

由

A

2a

2

(x)dx 1

2

a

2sin

n

xdx 1 a

a

b

sin

m n a

x sinxdx mn aa2

2n sinxaa2mE

k2 2

2 22

n (n 1,2,3, )可见E是量子化的。 En 2

2ma

对应于En的归一化的定态波函数为 2(x)

i

2n Ent

sinxe, 0 x a

n(x,t) a a

0, x a, x a

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A

1a

n Asin(x a), x a

a证： n

0, x a

由归一化，得

1 ndx A 2sin2

a

2

a

n

(x a)dxa

A 2

1n [1 cos(x a)]dx a2a

aa

A 2A 2

x

2 a2

2

a

a

cos

n

(x a)dxa

a

A 2an

A a sin(x a)

2n a a A 2a

∴归一化常数A

1

a

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

1

2x2

2 xe2 解： (x) 2

1(x) 1(x) 4 2

2 3

2

x2e

222

x

x2e

22

x

d 1(x)2 323 2x2

[2x 2 x]e dxd (x)1

令1 0，得 x 0 x x

dx 由 1(x)的表达式可知，x 0 ， x 时， 1(x) 0。显然不是最大几率的位置。

d2 1(x)2 322223 2x2

而 [(2 6 x) 2 x(2x 2 x)]e

dx2 4

3

[(1 5 2x2 2 4x4)]e

22

x

d2 1(x)1 4 31

x ， 可见是所求几率最大的位置。 2 0

edx21x

2

2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U( x) U(x)，证明粒子的定态波函数

具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

2d2

(x) U(x) (x) E (x) ①

2 dx2

2d2

将式中的x以( x)代换，得 ( x) U( x) ( x) E ( x) ② 2

2 dx 2d2

利用U( x) U(x)，得 ( x) U(x) ( x) E ( x) 2

2 dx

③

比较①、③式可知， ( x)和 (x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此 ( x)和 (x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演 (x x)而得其对方，由①经x x反演，可得③， ( x) c (x) ④

由③再经 x x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 (x) c ( x) ⑤

④乘 ⑤，得 (x) ( x) c2 (x) ( x)， 可见，c2 1，所以 c 1 当c 1时， ( x) (x)， (x)具有偶宇称， 当c 1时， ( x) (x)， (x)具有奇宇称，

当势场满足 U( x) U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 2.7 一粒子在一维势阱中

U(x) U0 0, x

a 0

, x a

运动，求束缚态(0 E U0)的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的S-方程为

2d2

2 dx2

(x) U(x) (x) E (x) 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为

Ⅰ：

2d2

2 dx2 1(x) U0 1(x) E 1(x) x a ① Ⅱ：

2d2

2 dx2 2(x) E 2(x) a x a Ⅲ：

2d2

2 dx2

3(x) U0 3(x) E 3(x) a x ③ 整理后，得

Ⅰ： 1 2 (U0 E) 2

1 0 ④ Ⅱ：. 2 2

E

2 2 0 ⑤ Ⅲ： 2 3 (U0 E) 2

3 0 ⑥ 令 k22 (U0 E)2

2 E1 2 k2

2

则

Ⅰ： 1

k21 1 0 ⑦ Ⅱ：. 2

k2

2 2 0 ⑧ ②

k12 1 0 ⑨ Ⅲ： 3

各方程的解为

1 Ae k1x Bek1x

2 Csink2x Dcosk2x

3 Ee kx Fe kx由波函数的有限性，有

1( )有限 A 0

3( )有限 E 0

因此

1 Bekx

kx

3 Fe

由波函数的连续性，有

1( a) 2( a), Be ka Csink2a Dcosk2a (10)

1

111

1

( a), k1Be ka k2Ccosk2a k2Dsink2a (11) 1 ( a) 2

1

2(a) 3(a), Csink2a Dcosk2a Fe

k1a

(12)

1

(a) 3 (a), k2Ccosk2a k2Dsink2a k1Fe ka (13) 2

整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得

e k1aB sink2aC cosk2aD 0 0

k1e k1aB k2cosk2aC k2sink2a D 0 00 sink2aC cosk2aD e

k1a

F 0

0 k2cosk2aC k2sink2aD k1e k1aF 0

解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须

e k1asink2a cosk2a0

k1e k1a

00

k2cosk2a k2sink2asink2ak2cosk2a

cosk2a

k2sink2acosk2a k2sink2a

cosk2a k2sink2a

0e

k1a

0

k2sink2ak1Be k1a

e k1a k1e k1a

0 e k1a k1e k1a

k2cosk2a

0 e k1a

sink2ak2cosk2a

sink2a

k1e k1asink2a

cosk2a

k2cosk2a

k1a

e k1a[ k1k2e k1acos2k2a k2sink2acosk2a 2e k1a k1k2e k1asin2k2a k2sink2acosk2a] 2e

k1e k1a[k1e k1asink2acosk2a k2e k1acos2k2a k1e k1asink2acosk2a k2e k1asin2k2a] e 2k1a[ 2k1k2cos2k2a k22sin2k2a k1sin2k2a]

2 e 2k1a[(k22k2a 2k1k2co2sk2a]2 k1)sin

2

∵ e 2k1a 0

2

∴(k2 k12)sin2k2a 2k1k2cos2k2a 0

2

即 (k2 k12)tg2k2a 2k1k2 0为所求束缚态能级所满足的方程。

方法二：接（13）式

kk

Csink2a Dcosk2a 2Ccosk2a 2Dsink2a

k1k1kk

Csink2a Dcosk2a 2Ccosk2a 2Dsink2a

k1k1

k2k2

cosk2a sink2asink2a cosk2ak1k1

0

k2k2

cosk2a sink2a (sink2a cosk2a)k1k1 ( (

k2k

cosk2a sink2a)(2sink2a cosk2a)k1k1k2k

cosk2a sink2a)(2sink2a cosk2a) 0k1k1k2k

cosk2a sink2a)(2sink2a cosk2a) 0k1k1

(

2k2kk

2sink2acosk2a 2sin2k2a 2cos2k2a sink2acosk2a 0

k1k1k12

k22k

( 1 2)sin2k2a 2cos2k2a 0

k1k1

2

(k2 k12)sin2k2a 2k1k2cos2k2a 0

另一解法：

(11)-(13) 2k2Dsink2a k1e k1a(B F)

(10)+(12) 2Dcosk2a e k1a(B F) (11) (13)

k2tgk2a k1 (a)

(10) (12)

(11)+(13) 2k2Ccosk2a k1(F B)e ik1a (12)-(10) 2Csink2a (F B)e ik1a (11 ) (13 )

k 2 ctgk 2 a k 1

(12 ) (10 ) （b） 令 k2a， k2a， 则

tg (c)

或

ctg (d)

2 U0a22222

(k1 k2) (f) 2

合并(a)、(b)：

2kk2tgk2a

tg2k2a 2122 利用tg2k2a 2

k2 k11 tgk2a

2-7一粒子在一维势阱

U0 0,x a

U(x)

0,x a

中运动，求束缚态(0 E U0)的能级所满足的方程。

解：（最简方法-平移坐标轴法）

2

U0 1 E 1 （χ≤0） 1 Ⅰ： 2

2

E 2 （0＜χ＜2a） 2 Ⅱ： 2 2

U0 3 E 3 （χ≥2a） 3 Ⅲ： 2

2 (U0 E) 1 0 1 2

2 E

2 2 0 2

2 (U0 E) 3 0 32

22

k1 1 1 0 (1) k1 2 (U0 E) 2 22

k2束缚态0＜E＜U0 22 2 0 (2) k2 2 E 2

3 k1 3 0 (3)

1 Ae kx Be kx

2 Csink2x Dcosk2x

1

1

3 Ee kx Fe kx

1( )有限 B 0

3( )有限 E 0

1

1

因此

1 Aek1x

k1x

3 Fe

由波函数的连续性，有

1(0) 2(0), A D (4)

(0), k1A k2C (5) 1 (0) 2

(2a) 3 (2a), k2Ccos2k2a k2Dsin2k2a k1Fe 2k1a (6) 2

2(2a) 3(2a), Csin2k2a Dcos2k2a Fe 2ka (7)

1

(7)代入(6) Csin2k2a Dcos2k2a

k2k

Ccos2k2a 2Dsin2k2a k1k1

利用(4)、(5)，得

2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为

, x 0 ，k1k2

Asin2ka Acos2ka Acos2ka Dsin2k2a U, 0 x a，222kk 21

U(x) 0

kk U1, a x b，A[(1 2)sin2k2a 2cos2k2a] 0

k2k1 x ， 0, b

A 0 (

k1k2

)sin2k2a 2cos2k2a 0k2k1

两边乘上( k1k2)即得

求束缚态的能级所满足的方程。

解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为

2d2

2 dx2

(x) U(x) (x) E (x) 对各区域的具体形式为

Ⅰ： 2

2

1 U(x) 1 E 1 (x 0) Ⅱ： 2

2 2 U0 2 E 2 (0 x a) Ⅲ： 2

2

3 U1 3 E 3 (a x b) Ⅳ： 2

2

4 0 E 4 (b x) 对于区域Ⅰ，U(x) ，粒子不可能到达此区域，故 1(x) 0

而 . 2 (2 U0 E)

2

2 0 ① 3 2 (U1 E) 2

3 0 ② 4

2 E

2 4 0 ③ 对于束缚态来说，有 U E 0

∴ k2 k22 (U0 E)

21 2 0 1 2

④

3 k2 k22 (U1 E)

33 0 3 2

⑤

22

4 k4 4 0 k4 2 E/ 2 ⑥

各方程的解分别为

1x2 Aek Be k1x

3 Csink2x Dcosk2x

k3

x3

4 Ee Fe kx

由波函数的有限性，得 4( )有限 ，

E 0 ∴ 3

4 Fe kx 由波函数及其一阶导数的连续，得 1(0) 2(0) B A ∴ 33

2 A(ekx e kx)

2(a) 3(a) A(ek3x e k3

x) Csin

k2a Dcoks2a ⑦ 3

(a) 3 (a) Ak3a1(ek3a e k) Ck2cosk2a Dk2sink2a ⑧ 3(b) 4(b) Csinkb2b Dcosk2b Fe k3 3

(b) k3b4 (b) Ck2sink2b Dk2cosk2b Fk3e ⑩由⑦、⑧，得kk1a1e e k1aCcosk2a kk1a e k1a Dcosk2a

Csink (11)

2e2a Dcosk2a

⑨

由 ⑨、⑩得(k2cosk2b)C (k2sink2b)D ( k3sink2b)C (k3cosk2b)D

kk

k2b sink2b)C ( 2cosk2b sink2b)D 0 (12) (2cosk3k3

ek1a e k1ak1

令 k1a，则①式变为 ( sink2a cosk2a)C ( cosk2a sink2a)D 0 k1a

k2e e

联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须

kk(2cosk2b sink2b)( 2sink2b cosk2b)

0 k3k3

( sink2a cosk2a)( cosk2a sink2a)

即 ( cosk2a sink2a)( (

k2

cosk2b sink2b) ( sink2a cosk2a) k3

k2

sink2b cosk2b) 0k3

k2k

cosk2bcosk2a 2sink2bsink2a sink2bcosk2a k3k3

k2k

sink2bsink2a 2sink2bcosk2a) k3k3k2k

) cosk2(b a)(( 2 1) 0k3k3k2k

)(2 )k3k3

sink2bsink2a

cosk2bsink2a cosk2bcosk2a 0 sink2(b a)( tgk2(b a) (1

把 代入即得

k2ek1a e k1ak2k1ek1a e k1a

k(b a) (1 )( ) tg2

k1a k1ak1a k1a

k3e ek3k2e e

此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 #

附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。

(ek1a e k1a)(ek1a e k1a)k2

000 (ek1a e k1a)

sink2a k2cosk2asink2bk2cosk2b k2cosk2asink2bk2cosk2b

cosk2ak2sink2acosk2bk2sink2acosk2b

00 e k3a0 e k3a

0 e k3a

0

k2sink2bk3e k3a

k2sink2bk3e k3a

cosk2acosk2b

sink2a

k1(ek1a e k1a)

sink2b

k2cosk2b k2sink2bk3e k3a

2 k3a

) k2k3e k3acosk2acosk2b k2esink2a (ek1a e k1a（

2 k3a

c o sk 2b k2k3e k3asink2asink2b k2ecosk2asink2b）

k 1 (ek1b e k1b（)k2k3e k3bsink2acosk2b k2e k3bcosk2a c o sk 2b k3e k3bcosk2asink2b k2e k3bsink2asink2b））

2

(ek1a e k1a)[ k2k3cosk2(b a) k2sink2(b a)]e k3b

(ek1a e k1a)[k1k3sink2(b a) k1k2cosk2(b a)]e k3b

2 ek1a[ (k1 k3)k2cosk2(b a) (k2 k1k3)sink2(b a)]e k3b2 e k1a[(k1 k3)k2cosk2(b a) (k2 k1k3)sink2(b a)]e k3b

0

2

[ (k1 k3)k2 (k2 k1k3)tgk2(b a)]e k3b

2 [(k1 k3)k2 (k2 k1k3)tgk2(b a)]e k3b 0

[(k k1k3)e

2

2

2k1a

(k k1k3)]tgk2(b a) (k1 k3)k2e

22

2k1a

(k 1 k3)k2 0

此即为所求方程。

第三章 力学量的算符表示

3.1 一维谐振子处在基态 (x) (1)势能的平均值

e

2x2i2

t2

，求：

1

2x2； 2p2

(2)动能的平均值 ；

2

(3)动量的几率分布函数。

11 2 2x2

xedx 解：(1) 2x2 2

22

1 1111 2

2 222 2 22 2 1

4

(2)

p2

*2 12

(x)p

2 (x)dx 1

2x

2

2

1

1 e 2

( dx

2)e 2 2x2

2d2 dx

22

2

(1 2x2)e 2x2

dx 22 2x2

2

22

2

[ edx

x2e x dx]

22

2[ 2 2 3] 2222 22 4 2 4 1

4

或 E 111

2 4 4

(3) c(p) *p(x) (x)dx

1

1

2

2x2

2

ee

i

Pxdx

1 2

1

22x2e

i

Px

e

dx

1

12ipp2 2(x 2 2 ) 2 2

22

e

dx 1

p22

2(x ip22

)2

e

1

e

dx

1

p2

2e

2 2 2

21

p2 2 2

2 e

动量几率分布函数为

p2

(p) c(p)2

1

2 2

e

#

3.2.氢原子处在基态 (r, , )

1

r/a0a3e，求：

(1)r的平均值； (2)势能 e2

r

的平均值； (3)最可几半径；动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。

解：(1) r(r, , )2

d 1 2 2r/a02 a30 0 0 0

re rsin drd d

4 r3a 2r/a0dr

a300(4)

43!3

a0 34

2a0 2

a 0

e2e2

(2) ( ) 3

r a0

e2

3

a0

2

1 2r/a02ersin drd d r

2

e 2r/a0rsin drd d

4e2

3

a0

e 2r/a0r dr

4e21e2 3

a0 2 2a0

a 0

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为

(r)dr

2

[ (r, , )]2r2sin drd d

4 2r/a02

er 3a0

4 2r/a02

erdr 3a0

(r)

d (r)42

3(2 r)re 2r/a0 dra0a0

d (r)

令 0， r1 0, r2 , r3 a0

dr

当 r1 0, r2 时， (r) 0为几率最小位置 d2 (r)4842 2r/a0

(2 r r)e 232

a0dra0a0d2 (r)

dr2

r a0

8 2

e 0 3a0

∴ r a0是最可几半径。

12 2 p (4)

T 2 2 2

2 2

2

2

1 r/a02 r/a02

e (e)rsin dr d d 3 a0

2

1 r/a01d2d r/a02

e[r(e)]rsin drd d 32

dr a0rdr

4 21

( 3

a02 a0

r2 r/a0

(2r )e dr

a0

22a0a04 2 2(2 ) 42

442 a02 a0

(r) (r, , )d (5) c(p) *p

1

c(p)

(2 )3/2

1

a

30

e

r/a0

rdr e

2

i

prcos

sin d d

i

prco s

2

2 (2 )

3/2

a

30

re

2

r/a0

dr e

d( co s)

2 (2 )3/2

2 (2 )

3/2

a

3

r2e r/a0dr

i

eipr

i

prco s

i

2 (2 )3/2

pr r/a0 pr

re(e e )dr

3ip 0a0

11[ ] 3ip1i1ia0

( p)2( p)2a0 a0

4ip

2331p22a0 ip a ( )02

a0 2

14

3

3

2

44a0 2

22

2a a0(a0p )

(2a0 )3/2

(a02p2 2)2

358a0

(p) c(p) 动量几率分布函数

2(a0p2 2)4

#

3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer Je 0

e m2

n m Je

rsi n

证：电子的电流密度为

i **

Je eJ e( n m n m n m n m)

2

在球极坐标中为

1 1

er e e

rr rsin

式中er、e 、e 为单位矢量

1 i 1 *Je eJ e[ n m(er e e ) n m

2 rr rsin

1 1 *

n e e ) n m] m(er

rr rsin

ie * 1 **

[er( n m n ) e( n m mn mn m n m

2 r rr

1 1 *1 **

n) e( n m)] mn m n mn mn m

r rsin rsin

n m中的r和 部分是实数。

e mie 2 22

( imn m imn m)e n me ∴ Je

rsin 2 rsin

2

可见，Jer Je 0

e m2

Je n m

rsin

3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为

me

2 (SI)

M Mz

me (CGS) 2 c 原子磁矩与角动量之比为 e ( SI ) 2 Mz

eLz

( C GS) 2 c

这个比值称为回转磁比率。

解：(1) 一圆周电流的磁矩为 dM iA Je dS A （i为圆周电流，A为圆周所围面积）

e m

2

e m2

n mdS (rsin )2

rsin

rsin n mdS

e m

(2)氢原子的磁矩为 M dM

r2sin n mdr d (dS rdr d)

e m

2

2

n mr2sin dr d

e m2

2 n mr2sin dr d

002

e m2 22

dr dd n mrsin 0002

e m

(SI)

2

e m

在CGS单位制中 M

2 c

原子磁矩与角动量之比为

MzMzMee

(SI) (C GS)

Lz2 cLzLz2

L2

3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H ，L为角动量，求与此对

2I

应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：