如何利用导数求参数的取值范围公开课

导数中的 参数取值范围问题

学习目标： 会求两种参数取值范围问题 1.参数放在区间上 2.参数放在函数表达式上

请思考：

问 题1: 在 区 间 (a, b)内f ( x) 0

f ( x)单 调 递 增

f ( x)在(a, b)上 单 调 递 增 f ( x) 0在(a, b)上 恒 成 立 f ( x)的 图 像 始 终 在 x轴 上 方 ( x轴 上 )问题2:f ( x)的增区间是(a, b), 又f ( x)在(c, d )上是 增函数

( c, d ) ( a , b )

热身练习

1.若f ( x) x 3ax 3(a 2) x 1在R上 单 调 他 递 增 ， 则a的 取 值 范 围 是 __________________2

3

分 析 ： f ( x) 3x 6ax 3(a 2) 0恒 成 立

0

2.若f ( x) x 3ax 3(a 2) x 1有 极 值 ， 则 a的 范 围

3

2

0

(一):参数放在区间上

例1.已知 f ( x) x 3x 9x 在区间 (a, 2a 1) 上单调递减，求则 a 的取值范围3 22 解：f ( x) 3 x 6 x 9 0,解得

- 1 x 3, 即f ( x)的单调减区间为 ( - 1,3 ), (a,2a 1) ( 1,3),即 a 1且2a 1 3,解得a 2总结1:若函数f(x)(不含参数)在(a,b)(含参数)上单调递增(递减),则可解出函数f(x)的单调区间是 (c,d),则 (a, b) (c, d )

(二):参数放在函数表达式上 1.利用方程根的分布求参数取值范围 2.利用集合性质求参数的取值范围(求单调 区间法) 3.分离参数法求参数范围 4.构造新函数求参数范围

5.分类讨论求参数范围

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K一个根小于 K ,一个 根大于K

k

k

k

b x 2a

b x 2a

x

b 2a

0 0 b b k k 2a 2a f (k ) 0 f (k ) 0

f(k)<0

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

一般情况两个根都在(k1 ,k2)内 两个根有且仅有 一个在(k1 ,k 2 )内

x 1∈(m,n) x ∈ (p,q) 2

k1

k2 b x 2a

x

k1

k2

m

n p

q

0 b k2 k1 2a f ( k1 ) 0 f (k 2 ) 0

f f f(k )f(k )<0 f f1 2

( m) 0 ( n) 0 ( p) 0 (q) 0

例3(08全国理) 已知函数 f ( x) x ax x 1 , a R3 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间； 2 1 (Ⅱ)设函数 f ( x) 在区间 , 内是减函数，求 a 的取值范围 3 3

解 析 ： f ( x) 3x 2ax 1,2

2 1 函 数 f ( x )在 (- , - ) 内 是 减 函 数 , 即f ( x) 0在 3 3 2 1 (- , - ) 恒 成 立 2 1 3 3 3 3

2 1 f ( ) 0且f ( ) 0, 3 3

解得 a 2

例4(10 全国 2 文)已知函数 f ( x) x 3ax 3x 13 2

设 f ( x ) 在区间(2,3)中至少有一个极值点，求 a 的取值范围

解 析 ： f ( x) 3 x 6ax 3在 (2,3) 内 有 变 号2

零 点2 3

(2)有 两 变 号 零 点2 a 32

36a 4 9 0 (1)有且仅有一零点 f ( 2) 0 f (2) f (3) 0 f (3) 0

5 5 解 得 a 4 3

1.利用方程根的分布求参数取值范围

1 3 1 2 (2011江西理)设 f ( x ) x x 2ax. 例2 3 2 2 若 f ( x) 在 ( , ) 上存在单调递增区间，求 a 的取值范围 3解：

f x x x 2a' 2

2 函数 f x 在 , 上存在单调递增区间， 3 2 即导函数在 , 上存在函数值大于零的部分 3 2 3

1 2 2 2 f 2a 0 a 9 3 3 3'

2

问题 3:若函数 f ( x)在 1, 单调递增，2 且经计算得 f x ( x 1)( x 2ax 3),求 a的范围

1, f x ( x 1)( x 2ax 3) 0在 恒 成 立2

1, 即x 2ax 3 0在 恒 成 立2

总结2: 能够利用方程根的分布求参数取值范围，通 常其导数 f ( x) 0 是二次方程或 可化为二次方 程 的形式，要从对称轴、判别式、区间端点的函数值 几方面来考虑。

2.利用集合性质求参数的取值范围(求单调区间法)3 2 . 例 3 ( 08 全国理)法二： 已知函数 f ( x ) x ax x 1, a R 总结3:先判断函数的单调性，再保证题中的区

间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即 f ( x) 的单调区间； (Ⅰ)讨论函数 2 1 可。 (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 , 内是减函数，求 a 的取值范围2 f ( x)a 2 3x 2ax 1 3时 当 2 当 a ≤ 3 时， ≤ 0 , f ( x) ≥ 0 , f ( x ) 在 R 上递增

3

3

解：

2 2 2 a a 3 a a 3 a a 3 2 f ( x ) 0 当 a 3, 求得两根为 x , 递减， 3 3 3 a a 2 3 a a 2 3 a a 2 3 2 , , 即 f ( x ) 在 递增， 递减， a a 3 2 3 3 3 ≤ 32 3 2 ) a 3 解得： a ≥ 2 (2 ,且 a a 3 a a 2 3, 1 递增 ≥ 3 3 3

3.分离参数法 例5

(2010 全国 1 理)已知函数 f ( x) ( x 1) ln x x 1 (Ⅰ)若 xf '( x) x2 ax 1 ,求 a 的取值范围x 1 1 xf ( x) x ln x 1 f ( x) ln x 1 ln x 解： x 题设 xf ( x) x2 ax 1 等价于 ln x x a .1 则 g ( x ) 1 令 g ( x) ln x x , x 当 0<x<1 , g ' ( x)>0 ;当 x≥1 时， g ' ( x)≤0x 1 是 g ( x) 的最大值点 总

结4:运用分离参数法： 分离参数----构造函数g(x)---求g(x)的最值---得参数范围 g ( x)≤g (1) 1 综上， a 的取值范围是 1, .

4.构造新函数 1a 1

例6a 1

都有 f ( x) ax 成立，求实数 a 的取值范围。

f ( xe ) (1 x 1) ln( x 1). 若对所有的 x 0, (06 全国理)设函数 e 1

解：令g ( x) f ( x) ax ( x 1) ln(x 1) ax , 于是不等式f ( x) ax成立,即为g ( x) 0 g (0)成立。

g ( x) ln( x 1) 1 a 0, 得x e 当x ea 1

a 1

1,

1时 ， g ( x) 0, g ( x)为 增 函 数a 1

当 1 x e

1时 ， g ( x) 0, g ( x)为 减 函 数

要对所有的x 0,都有g ( x) g (0)成立的充要

条件为 e a 1 1 0, 由 此 得 a 1, 即a的 范 围 ( - , 1

5.分类讨论求参数范围 例7 (2010 新课标文)设函数 f ( x) x(e 若当 x ≥0 时 f ( x) ≥0,求 a 的取值范围x

x

1) ax

2

若a a ,则 当 x (0, ) 时 ， g ( x) 0, g ( x)为 增 函 数 11 而g (0) 0, 从 而 x 0时g ( x) 0, 即f ( x) 0x

解 ： f ( x) x(e 1 ax) x x 令g(x) e 1 ax, 则g ( x) e a

1时, g ( x) e a 0, 解 得 x ln a aa 1 g ( x) 0, 解 得 o x ln a

若a 1, 则 当 x (0, ln a)时 ， g ( x)为 减 函 数 ， 而g (0) 0, 从 而 当 x (0, ln a )时 ， g ( x) 0, 综 合 得 a的 范 围 为 ( - ,1 即f(x) 0