幂级数及其收敛性

幂级数及其收敛性

第8章 级数

8.2 幂级数

8.2.1 幂级数及其收敛性 8.2.2 函数展开成幂级数

幂级数及其收敛性

一、幂级数及其收敛性

一般形式为

a 0 + a1 x + a 2 x 2 + + a n x n + .

②

(其中 a 0 , a1 , a 2 , a n , 是任意实常数 ) 的级数

其中的 a 0 , a1 , a 2 , a n 称为幂级数 称为 幂级数， 幂级数， 对应项的系 数 .

幂级数更一般的形式为

a 0 + a1 ( x x 0 ) + a 2 ( x x 0 ) 2 + + a n ( x x 0 ) n + .

方法化为式② 它显然可以通过变量代换 y = x x0 方法化为式② .

幂级数及其收敛性

设幂级数

a n x n 中 a n ≠ 0 ( n = 0,1,2,) 则称幂级 ∑

n= 0

∞

数为不缺项的， 数为不缺项的， 否则称为缺项的幂级数 缺项的幂级数. 否则称为缺项的幂级数 例如幂级数

∑ (1)

n=0

∞

n

x

2n

= 1 x + x x + + ( 1) x

2 4 6 n

2n

+

叫缺项的幂级数， 叫缺项的幂级数，又如 的奇次幂， 缺 x 的奇次幂，

( 1) n x n = 1 x + x 2 + ( 1) n x n + ∑

n=0

∞

是不缺项的幂级数. 是不缺项的幂级数

幂级数及其收敛性

定理 设幂级数 ∑ a n x n 是不缺项的 .

∞

即 a n ≠ 0 . 如果

n =1

a n +1 r = lim , n→∞ a n

1 1 则当 x < 时 , 该幂级数收敛 当 x > 时 , 该幂级数收敛; r r 1 称为幂级数的收敛半径 , 该幂级数发散. 该幂级数发散. r 1 . 即 记作 R , R= r an R = lim n→ ∞ a n +1

幂级数及其收敛性

证

因为在幂级数 ∑ a n x n 中 , 若将 x 看成

n =1

∞

是一个确定的值， 那么就得到一个数项级数， 是一个确定的值， 那么就得到一个数项级数， 因为 为此， 为此，我们可对幂级数的各 它不一定是正项级数， 它不一定是正项级数， 项取绝对值， 项取绝对值，得

a0 + a1 x + a 2 x + + a n x + ,

2 n

这是一个正项级数. 运用比值审敛法. 这是一个正项级数 运用比值审敛法

ρ = lim a n + 1 x n +1 an x

n

因为

=rx .

n→ ∞

a n+1 x = lim n→ ∞ a n

幂级数及其收敛性

1 所以当 ρ = r x < 1 , 即 x < 时,级数收敛 . r ∞ 这表明幂级数 ∑ a n x n 绝对收敛 , 因此它

必然收敛 .

n =1

1 当 ρ = r x > 1 , 即 x > 时 , 也就是说 r

lim

n →∞

a n + 1 x n +1 an x

n

>1.

显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大， 显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大， 一般项

a n x 不趋近于零 . 由级数收敛的必要条

n

件可知该幂级数发散. 件可知该幂级数发散

幂级数及其收敛性

2n x n 的收敛区间 . 例 2 试求幂级数 ∑ n n =1

解 所给的幂级数为不缺项的， 所给的幂级数为不缺项的，可运用上述

2n n =1. R = lim n+1 n→ ∞ 2 2 n+1

∞

定理求收敛半径

1 当 x = 时, 幂级数为正项级数 2

此为调和级数， 它是发散的. 此为调和级数， 它是发散的

1 ∑n. n =1

∞

幂级数及其收敛性

n ∞ 1 （ 1） 当 x = 时 , 幂级数为收敛的交错级 数 ∑ . 2 n n =1

2n x n 1 1 . 所以 , 幂级数 ∑ 的收敛区间为 [ , ） n 2 2 n =1

∞

幂级数及其收敛性

x 2n 例 3 求幂级 数 ∑ ( 1) n 的收敛区间 . 2n + 1 n=0

幂级数及其收敛性

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