第七章应力状态和强度理论

第七章 应力状态与强度理论

轴向拉压 F

A

同一横截面上各点应力相等： F

F

同一点在斜截面上时：

cos2 sin 2 2

同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同

Mz

FQ

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表 明：同一面上不同点的应力各不相同。

l

S平面T z

y14

S

F a1

x2 3 MzT Wp

τ σ Mz Wz

3τ T Wp

σ

Mz Wz

§7-1 应力状态的基本概念一、单元体FA

F

dx dy dz 0微元 单元体

A

dz dy

单元体边长无穷小； 应力沿边长无变化； 单元体各个面上的应力是均匀分布的； 两个平行面上的应力大小相等。

dx

A

A

二、应力状态的概念 受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合，称之为这一 点的应力状态。 三、主单元体、主应力与主平面 主单元体： z

y x y z x

各侧面上切应力均为零的单元体。 主平面： 切应力为零的平面。 主应力： 主平面上的正应力。

1 2 3 主应力排列规定：按代数值大小，

三、应力状态的分类

三个主应力中只有一个不等于0 单向应力状态

1

1

F

A

F

三、应力状态的分类

三个主应力中有两个不等于0 二向(平面)应力状态z x正应力分布切应力分布中性层

F

y

x

A

A

三、应力状态的分类 三个主应力都不等于0 三向(空间)应力状态

在车轮压力作用下，车轮与钢轨接触点A处的应力状态

P A

3

1

2A

1

2

3

§7-2 平面应力状态分析一、平面应力状态分析的解析法 1、解析法求斜截面上的应力 平面应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的 单元体如图：

y yx x xy y x x yx

y

x xy y

1、解析法求斜截面上的应力 y 正应力的符号规定：正应力为拉 yx 应力，即方向背离截面时，规定为正； 正应力为压应力，即方向指向截面时， x x 规定为负。 xy y yn

切应力的符号规定：若切应力对 所在截面内侧任意点之矩为顺时针方向 时，为正号，反之，逆为负号。通过截面外法线的方位定义截面的位置

yx

x

x

x xy

斜截面方位角的符号规定：由x轴 转向外法线 n为逆时针转向时， α 为正 号，反之，顺为负号。左图中上述各项方向均为正方向

y

1、解析法求斜截面上的应力 yx y

n x

dA x xy

x

x xy

y yx

n x

F

dA x dAcos cos xydA cos sin y dAsin sin yxdAsin cos 0 F 0 dA xdA cos sin xydA cos cos n

y

0

y dA sin cos yxdA sin sin 0

1、解析法求斜截面上的应力

x xy

dA x dAcos cos xydA cos sin y dAsin sin yxdAsin cos 0 dA F 0 dA x dA cos sin xydA cos cos n y dA sin cos yxdA sin sin 0n

F

0

y yx

x

对以上两个式子进行数学整理，可得到任意 斜截面上的正应力和切应力的一般公式:

x y2

x y2

cos2 xy sin2

x y2

sin2 xy cos2

2、应力极值

x y2 x y 2

x y2

cos2 xy sin2

和 随着 的变化而 变化，是 的函数，对 求导数可得到其极值。

sin2 xy cos2 若 0时，导数为0

x y d 2 sin2 xy cos2 d 2

x y2

sin2 0 xy cos2 0 0

tan2 0

2 xy

x y

通过上式可以求出相差p/2的两个角度 0,它们确定两个相互 垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最 小正应力所在平面。

2、应力极值

x y2 x y 2

x y2

若将 0的值代入切应力公式:

cos2 xy sin2

可得:

00

sin2 xy cos2 2 xy

得到以下结论:

tan2 0

1) 切应力为0的平面上，正应力为最 大或最小值； 2) 切应力为0的平面是主平面，主平 面上的正应力是主应力，所以主应力 就是最大或者最小的正应力。2

x y

将 0代入 的计算公式， 计算得到最大和最小正应力

'max x y x y 2 xy 2 'min 2

例题1:一点处的平面应力状态如图所示。

已知

x 60MPa, xy 30MPa, y 40MPa, 30 。

y

试求(1) 斜面上的应力； (2)主应力、主平面； (3)绘出主应力单元体。

xy x