复旦大学线性代数试卷

一、 ｎ阶行列式计算： （共20分，每小题10分）

x1 111 x 1

（1） An

1111 x

x1

1

（2）An

11 x21

11

111 x3 11

111 1

111

11 xn

1 11

1 xn 1

其中xi 0,i 1,2, ,n。

二、假设A为n阶方阵，D diag 1, 2, 3, , n 是n阶对角阵，其中 1, 2, 3 , n两两不相等，且AD DA，证明:A必为对角阵。 (10分)

三．设 1, 2, 3是复数域上三维线性空间V的一组基，T是V的一个线性变换，它在这组基

（装订线内不要答题）

四、讨论参数 , 的值，解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无穷多的解？并请写出解的一般形式。

56 3

下的矩阵为A 101 ，即T( 1, 2, ( , ,3) A。求：T的所有的特征值与特3) 12

12 1

征向量。 (12分)

x1

x1 x 1

x2

x3x3x3

4

3 （18分） 4

x2 2 x2

五、设A,B分别为实数域上m阶、n阶方阵，试证明：

A0

1． 如果A,B都相似于对角矩阵，则 也相似于一个对角矩阵。

0B

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2． 设

A0

相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵S，使得

0B

A0 S 1 S diag( 1, 2, 0B

, n)。

对S进行分块，令S

S1

，其中S1是m (m n)阶矩阵，S2是n (m n)阶矩阵。试S 2

证明：S1的每一列都是A的特征向量，S2的每一列是B的特征向量，并且

rank(S1) m, rank(S2) n。

3．

A0

相似于一个对角矩阵当且仅当A,B都相似于对角阵。(共20分)

0B

n

n

R为实数域R上全体n维向量的集合。六、设R为实数集，设本题中的向量均在R

中。证明（共20分）： （1）设向量组 1, 2,组

, s可以由向量组 1, 2,, t线性表示，且s t，则向量

1, 2,, s是线性相关的。 （10分）

, s可由向量组 1, 2,

, s) ( 1, 2,

, t线性表示，即存在实数域R上的, t) A，并设 1, 2,

, t是线性

（2）设向量组 1, 2,

t s的矩阵A，使得( 1, 2,

无关向量组，则向量组 1, 2,

, s的秩等于矩阵A的秩。 （10分）

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