第1.1节 基本概念 数理统计

第一章 统计量与抽样分布第1.1节 基本概念 第1.2节 充分统计量与完备统计量 第1.3节 抽样分布 第1.4节 次序统计量及其分布

第1.1节

基本概念

一、总体和样本

二、统计量和样本矩三、经验分布函数

一、总体与样本1. 总体与个体 一个统计问题总有它明确的研究对象. 研究对象的全体元素组成的集合称为总体(母 体),总体中每个成员称为个体.

…

总体研究某批灯泡的质量

总体考察国产 轿车的质量

然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是 关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该 数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个

体具有的数量指标的全体就是总体.灯泡的寿命 国产轿车每公里 的耗油量

该批灯泡寿命的 全体就是总体

所有国产轿车每公里耗 油量的全体就是总体

总体可以用一个随机变量来表示

考察某大学一年级 学生的年龄

设该大学一年级学生 的年龄分布如下表年龄 18 19 20 0.1 21 22

比例 0.5 0.3

0.07 0.03

某大学一年级全体 若从该大学一年级学生中任意 学生的年龄构成问 抽查一个学生的年龄，所得结 题的总体 果为一随机变量，记作X.

X的概率分布是： X 18 19 20 21 p 0.5 0.3 0.1 0.07

22 0.03

可见，X的概率分布反映了总体中各个 值的分布情况. 很自然地，我们就用随机变 量X来表示所考察的总体. 也就是说，总体可以用一个随机变量及其 分布来描述.

从另一方面看 统计的任务,是根据从总体中抽取的样本， 去推断总体的性质.

由于我们关心的是总体中的个体的某项指 标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗 油量…) ,所谓总体的性质，无非就是这些指 标值的集体的性质. 而概率分布正是刻划这种集体性质的适当 工具. 因此在理论上可以把总体与概率分布等 同起来.

又如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标 就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.寿命X可用一概 率分布来刻划F(x)

总体

某批 灯泡的寿命

鉴于此，常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .

2、有限总体和无限总体 实例 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的 总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿 命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生 产和今后生产的灯泡寿命.

当有限总体包含的个体的 总数很大时, 可近似地将它看 成是无限总体.

3.

样本的定义X 1 , X 2 , , X n

从总体X中，随机地抽取n个个体：

称为总体X的一个样本，记为( X1 , X 2 , , X n )

样本中所包含个体的总数n称为样本容量. 注 样本( X1 , X 2 , , X n )是一个

n维随机变量.

4. 样本值

每一次抽取 X 1 , X 2 , , X n 所得到的n个确定的具体数值，记为

( x1 , x2 , , xn )称为样本( X1 , X 2 , , X n ) 的一个样本值(观察值).

5. 简单随机样本若来自总体X的样本( X1 , X 2 , , X n )具有下列

两个特征：

(1) 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的总体 有相同的分布. (2) 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.

则称( X1 , X 2 , , X n )是来自总体X,容量为n的简单 机样本获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样. 总体和样本的数学严格定义： 定义 一个随机变量X或其相应的分布函数 F(x) 称为一个总体.

定义 设 X 是具有分布函数F ( x )的随机变量, 若 X 1 , X 2 , , X n 是具有同一分布函数F ( x )、相互独立的随机变量, 则称 X 1 , X 2 , , X n 为来 自总体X的容量为 n 的简单随机样本, 简称样本.

6. 样本的分布 定理1.1 设( X 1 , X 2 , , X n )为来自总体X的样本.

(1)若总体X的分布函数为F ( x ), 则样本 ( X 1 , X 2 , , X n )的分布函数为 F ( xi ).i 1 n

( 2)若总体X的分布密度为f ( x ), 则样本( X 1 , X 2 , , X n ) 的分布密度为 f ( xi ).i 1 n

(3)若总体X的分布率为P { X xi } p( xi )( i 1, 2, ), 则样本( X1 , X 2 , , X n )的分布率为 p( xi ).i 1 n

例1 设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分 布, ( X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体的样本, 求样本( X 1 , X 2 , , X n ) 的概率密度. e x , 解 总体 X 的概率密度为 f ( x ) 0, x 0 x 0

因为 X 1 , X 2 , , X n 相互独立, 且与 X 有相同的分布, 所以 ( X 1 , X 2 , , X n )的概率密度为

f ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi ) e xi xi ne i 1 , x 0 ( i 1,2, , n) i 0, 其它 n

n

n

i 1

i 1

例2 设总体 X 服从两点分布 B(1, p ), 其中0 p 1, ( X 1 , X 2 , , X n )是来自总体的样本, 求样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分布律.

解 总体 X 的分布律为P { X i } p i (1 p )1 i

( i 0, 1)

因为 X 1 , X 2 , , X n相互独立,

且与 X 有相同的分布,所以 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分布律为