基本初等函数高中基础

§1.3基本初等函数

1.3.1指数函数

指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果

x a,a R,x R,n 1，且n N ，那么x叫做a的n次方根．当

n

n是奇数时，a的n

次方根用符号

表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根

表示；0的n次方根是0；负数a没有n

用符号

表示，负的n

次方根用符号

次方根．

②式子

叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为

任意实数；当n为偶数时，a 0．

③根式的性质

： a；当n为奇数时

，

n

a

；当n为偶数时，

a (a 0)

|a|

a (a 0)

．

（2）分数指数幂的概念

m

①正数的正分数指数幂的意义是：a的正分数指数幂等于0．

②

正

数

m

n

a 0,m,n N ,且n 1)．0

数

幂

的

意

义

是

：

的负分数指

a

mn

()n a

1

a 0,m,n N ,且n 1)．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①

r

s

a a a

rs

rsr s

(a 0,r,s R)

②

(a) a(a 0,r,s R)

③(ab) ab(a 0,b 0,r R)

r

r

r

指数函数及其性质

（4）指数函数

1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:

2

(a b)

3

1

12

12

1

a b3

5

（1）

;

6

a b

a3b2 a2b3

解：（1）原式=

1

56

1111

a

111

326

1

b

2

15 36

a b 1.

00

ab

6

() ()

2：已知实数a、b满足等式23

1

a

1

b

，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a

＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）

A.1个  B.2个 C.3个 D.4个 解：B 

x x 6

2

3：求下列函数的单调递增区间：(2)y=2解：

（2）令u=x2-x-6,则y=

.

2u,

12

∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=, 在区间［，+∞）上u=x-x-6是增函数.

21

2

又函数y=2为增函数，

x x 6

2

u

∴函数y=2在区间［，+∞）上是增函数.

2

1

x x 6

2

故函数y=2

的单调递增区间是［，+∞）

2

1

1.3.2对数函数

对数与对数运算

（1）对数的定义

x

①若a N(a 0,且a 1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其

中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：x logaN ax N(a 0,a 1,N 0)．

（2）几个重要的对数恒等式

loga1 0，logaa 1，logaa b．

b

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e 2.71828…）．

（4）对数的运算性质

如果a 0,a 1,M 0,N 0，那么 ①加法：logaM logaN loga(MN) ②减法：logaM logaN loga

MN

n

③数乘：nlogaM logaM(n R)

④a

logaN

N

n

⑤logaM

b

nb

logaM(b 0,n R)

⑥换底公式：logaN

logbNlogba

(b 0,且b 1)

对数函数及其性质

（5）对数函数

例1 计算：（1）log2 3(2

324（3）1lg-lg+lg2493

3)

245

.

解：（1） 利用对数定义求值 设log2 3(2 

1

3)=x,则(2+

3

)=2-3=

x

12

3

=（2+3）,∴x=-1.

-1

（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245

2

3

2

14

2

1

= (5lg2-2lg7)-×

2

3

1432

lg2

+ (2lg7+lg5)

2

1

=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5

2

2

2

2

5111

=lg(2×5)= lg10=.

2

2

2

111

变式训练1：化简求值. （1）log2

748

+log212-1log242-1; 2

（2）(lg2)+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83).

解

2

：

748

(1)

42-log22=log2

7 1248

42 2

log2

原

122

log22

32

式

32.

=log2+log212-log2

（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.

2lg2lg3lg33lg25lg35

（3）原式=(lg )( ) . lg32lg32lg23lg22lg36lg24

例2 比较下列各组数的大小.

（1）log32与log56;（2）log1.10.7与log1.20.7;

3

5

（3）已知logb＜loga＜logc,比较2,2,2的大小关系.

1

1

1

2

2

2

bac

解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5.

3

5

3

5

2626

(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞log∴

1log0.71.1

1log0.71.2

0.7

1.1 log

0.7

1.2

,

,

即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7. 方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.

如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7. (3)∵y=log1x为减函数，且log

2

12

b log1a log1c

2

2

,

∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.

1变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则logab,log

a

b,log

1

b

b

的大小

关系是 （ ）

1A.logab log

a

b log

1

b

b

B.log

a

b

loga

1b

logb

1b

C.log

a

b logb

1b

loga

D.logb

1

1

b

b

loga

1b

logab

解： C 1.3.3幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数y x 叫做幂函数，其中x为自变量， 是常数．

象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0, )都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果 0，则幂函数的图象过原点，并且在[0, )上为增函数．如果 0，则幂函数的图象在(0, )上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当

qp

q

（其中p,q互质，p和q Z），若p为奇数q为奇数时，则y xp是奇函数，

q

q

若p为奇数q为偶数时，则y xp是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y xp是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数y x ,x (0, )，当 1时，若0 x 1，其图象在直线

y x下方，若x 1，其图象在直线y x上方，当 1时，若0 x 1，其图象在直

线y x上方，若x 1，其图象在直线y x下方． 例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：

1

3

（1）

y x

（2）y x2

2

（3）y x

1

1 （4）

y x2 x

2

（5）

y x2 x

2

1

1

f(x) x2 3( x)4

解：（1）此函数的定义域为R，

f( x) ( x)3

x3

f(x)

∴此函数为奇函数．

1

（2

）y x2

∴此函数的定义域为[0, )

此函数的定义域不关于原点对称

∴此函数为非奇非偶函数． （3）y x

2

1x

2

∴此函数的定义域为( ,0) (0, )

f( x) 1( x)

2

1x

2

f(x)

∴此函数为偶函数 （4）y x2

x

2

x2

1x

2

∴此函数的定义域为( ,0) (0, )

f( x) ( x)2

1( x)

2

x2

1x

2

f(x) ∴此函数为偶函数

6）

（

1

（5

）y x x

2

12

∴此函数的定义域为[0, )

此函数的定义域不关于原点对称

∴此函数为非奇非偶函数

12

1

（6

）f(x) x 3( x)4

x 0

x 0

x 0

∴此函数的定义域为{0} ∴此函数既是奇函数又是偶函数

变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：

（1）

y x

5

（2）

y x

43

5

（3）y x4（4）y x

35

（5）y x

12

分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．

（2）定义域( ,0) (0, )，值域(0, )，偶函数，在( ,0)上单调递增， 在(0, ) 上单调递减．

（3）定义域[0, )，值域[0, )，偶函数，非奇非偶函数，在[0, )上单调递增． （4）定义域( ,0) (0, )，值域( ,0) (0, )，奇函数，在( ,0)上单调递减，在(0, )上单调递减．

（5）定义域(0, )，值域(0, )，非奇非偶函数，在(0, )上单调递减． 例2比较大小：

12

12

（1）1.5,1.7 （2）

1

( 1.2),( 1.25)

1

2

33

（3）5.25,5.26,5.26（4）0.5,3

3

0.5

,log30.5

111

解：（1）∵y x2在[0, )上是增函数，1.5 1.7，∴1.52 1.72 （2）∵y x3在R上是增函数，

1.2 1.25，∴( 1.2)3 ( 1.25)3

（3）∵y x 1在(0, )上是减函数，

5.25 5.26，∴5.25 1 5.26 1；

∵y 5.26x是增函数， 1 2， ∴5.26 1 5.26 2；

综上，5.25 1 5.26 1 5.26 2

（4）∵0 0.53 1，30.5 1，log30.5 0，

30.5∴log30.5 0.5 3

例3已知幂函数

y x

m 2m 3

2

（m Z）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点

对称，求m的值．

分析：幂函数图象与x轴、y轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z，便可逐步确定m的值． 解：∵幂函数y x

m 2m 3

2

（m Z）的图象与x轴、y轴都无交点，

2

∴m 2m 3 0，∴ 1 m 3；

2

∵m Z，∴(m 2m 3) Z，又函数图象关于原点对称，

2

∴m 2m 3是奇数，∴m 0或m 2．

1

变式训练3：证明幂函数f(x) x2在[0, )上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明． 证明：设0 x1 x2，

12

1

则f(x1) f(x2)

x1 x22

x1 x2

x1 x2

0 0

f(x1) f(x2) 0 即f(x1) f(x2)

此函数在[0, )上是增函数