2011届高考数学第一轮知识点总复习3

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第三节基础梳理1. 圆的标准方程(1)方程 x a 标准方程;2

圆的方程

y b r 2 r 0 表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的2

2 2 2 (2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r>0)的圆的标准方程为 x y r .

2. 圆的一般方程

方程 x y2

2

D E D2 E 2 4F +Dx+Ey+F=0可变形为 x y 2 2 4 2

2

2

D E (1)当 D E 4F 0 时，方程表示以 , 为圆心，以 2 22

D2 E 2 4F 2

为半径的圆;

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D E (2)当D 2 E 2 4F =0时，方程表示一个点 , ; 2 2

(3)当D 2 E 2 4F <0时，方程不表示任何图形.2 2 3. P x0 , y0 与圆 x a y b r 2 的位置关系

(1)若 x0 a y0 b r 2 ,则点P在圆外；2 2

(2)若 x0 a y0 b r 2 ,则点P在圆上；2 2

(3)若 x0 a y0 b r 2,则点P在圆内.2 2

4. 求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； (3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.

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典例分析题型一 求圆的方程

【例1】求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准 方程并判断点P(2,4)与圆的关系.分析 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标和圆的半径的大小，而要 判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小 关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上； 若距离小于半径，则点在圆内. 2 2 解 方法一:设圆的标准方程为 x a y b r 2 . ∵圆心在y=0上，∴b=0, 2 ∴圆的方程为 x a y 2 r 2 又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点，2 2 1 a 16 r , ∴ 2 2 3 a 4 r ,

a 1, 解得 2 r 20,2

故所求圆的方程为 x 1 y 2 20

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2 2 方法二：设圆的一般方程为 x y +Dx+Ey+F=0,因为圆心在x轴上，

E 则- =0,即E=0. 2

又该圆过A(1,4)和B(3,2),所以 D+17+F=0, D=2, 解得 E=0, 3D+13+F=0, F=-19.

2 2 所以圆的方程为 x y +2x-19=0.

方法三:∵圆过A(1,4)、B(3,2)两点， ∴圆心C必在线段AB的垂直平分线l上， 又∵ k AB 4 2 1 ,∴ l 的斜率为1. 1 3

又AB的中点为(2,3), 故AB的垂直平分线 l 的方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0.

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又知圆心在直线y=0上，∴圆心坐标为C(-1,0).∴半径r=|AC|= 1 1 2 42 202 即所求圆的方程为 x 1 y 20 2

又点P(2,4)到

圆心C(-1,0)的距离为 d=|PC|= 2 1 2 42 =5>r, 所以点P在圆外. 学后反思 (1)本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法 一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所 设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几何知识：圆心与弦的中点 的连线与弦垂直.一般而言，在解析几何问题中，用上平面几何知识， 会使解题变得相对简单. (2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后 根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.

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举一反三1. 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程. 解析 ∵圆经过点A(5,2),B(3,2),∴圆心在x=4上，又圆心在2x-y2 22 2

3=0上，∴圆心为(4,5),可设圆的方程为 x 4 y 5 r 2 ,又2 圆过B(3,2),即 3 4 2 5 r ,∴ r 2 10 ,

∴圆的方程为 x 4 y 5 102 2

题型二 与圆有关的参数问题2 2 2 【例2】(2009· 威海模拟)已知圆的方程为 x y ax 2 y a 0

,要使过定点A(1,2)的圆的切线有两条.求a的取值范围.2 2 2 2 分析 (1)若方程表示圆，则 D E 4 F >0,即 a 4 4a 0

(2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外.

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解

2 2 2 若 x y ax 2 y a 0 表示圆，则应满足

a 2 4 4a 2 0 ,即4-3a 2 >0,

①

又点A应在圆外，则 12 22 a 2 2 a2 0即a +a+9>0,2 3 2 3 a 3 3 2 3 2 3 故a的取值范围是 3 , 3 2

②

由①②得

2 2 学后反思 (1)一般地，方程表示圆隐含着条件 D E 4 F >0.此点易 被忽视.2 2 2 2 (2)若点 x0 , y0 在圆 x y +Dx+Ey+F=0外，则 x0 y0 Dx0 Ey0 F 0

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举一反三1 2. 已知圆的方程 x y ax 2 y a 0,要使圆的半径不大于 且过定点 22 2 2

A(1,2)的圆的切线有两条，求a的取值范围. 解析a 3 2 2 圆的方程可化为 x y 1 1 a 2 4 2

3 1 1 a2 , 4 2 由已知 1 3 a 2 0, 即 4 12 22 a 2 2 a 2 0

.

a 2 1, 4 3a 2 0, a 2 a 9 0,

解得 2 3 <a≤-1或1≤a< 2 3 ,3 3

所以a的取值范围为( 2 3 ,-1]∪[1, 2 3 ).3 3

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题型三 与圆有关的最值问题2 2 【例3】已知实数x、y满足方程 x y -4x+1=0.

y (1)求 的最大值和最小值； x

(2)求y-x的最大值和最小值；2 2 (3)求 x y 的最大值和最小值.

分析 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解. 解2 原方程可化为 x 2 y 3 ,表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆. 2

y y (1) 的几何意义

是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 =k,即y=kx. x x

当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时

2k 0 k 12

3

y ,解得k=〒 3 ,如图1,所以 的最大值为 3 ,最小值为- 3 . x

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(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵 截距b取得最大值或最小值，此时 2 0 b2 3

,解得b=-2〒 6 .如图2,所

以y-x的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6 .2 2 (3) x y 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点

与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值，如图3. 又圆心到的原点的距离为 2 0 0 0 2 2

2

所以，x y 的最大值为 2 3 7 4 32 22

x 2 y 2的最小值为 2

3

2

7 4 3

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学后反思 (1)本例中利用图形的直观性，使代数问题得到非常简捷的解 决，这是数形巧妙结合的好处. (2)本例的解题关键在于抓住“数”中的某些结构特征，从而联想到解析 几何中的某些公式或方程，从而挖掘出“数”的几何意义，实现由“数” 到“形”的转化. (3)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ=y b 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； x a

②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； 2 2 ③形如 x a y b 形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的 最值问题.

举一反三2 2 3. 已知圆C: x 3 y 4 1 ,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动

点，求d= PA PB 的最大值、最小值及对应的P点坐标.

2

2

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兼职 http:// 0 吺唍哇

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解析 设 P x0 , y0 则d PA PB x0 1 y0 2 x0 1 y0 22 2 2 2

2 2 欲求d的最值，只需求ω= x0 y0 的最值，即求圆C上的点到原点距离平

2 x0 2 y0 2 2

方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点 P 即为所求. 1, P 2 设过O,C两点的直线交圆C于 P 两点， 1, P 22 则 min OC 1 16 OP 1 2

12 16 d 2 16 2 34, P , 此时 min 1 5 5

max OC 1 36 OP22

2

18 24 d 2 36 2 74, P , 此时 max 2 5 5

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题型四 与圆有关的简单的轨迹问题2 【例4】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 x 1 y 4 上 2

运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 分析 动点M的轨迹与点A的位置变化 有关，因此可以把点A的坐标用点M的 坐标表示出来，再代入点A所满足的方 程求得点M的轨迹方程. 解 设点M的坐标为(x,y),点 A x0 , y0

因为M是线段AB的中点，且B(4,3),x0 4 x ,

2 所以 y y0 3 , 2

x0 2 x 4 所以 y0 2 y 32

①

又点A在圆 x 1

y 2 4 上运动，

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所以 x0 1

2

y0 2 4 .2 2

② 4

把①代入②,得 2 x 4 1 2 y 3 2 2

3 3 x y 整理得 1 . 2 2 3 3 所以点M的轨迹是以 2 , 2 为圆心，半径为1的圆.

学后反思 (1)本例中M、A是相关动点，M、A、B三者存在着不变的关 系，抓住该关系可以实现动点M、A的坐标间的转化. (2)一般地，设点时，动点设为(x,y),相关点设为 x0 , y0 ,并将 (x,y)用 x0 , y0 表示出来，代入 x0 , y0 满足的关系式.

举一反三2 2 4. 已知圆 x y 4 上一定点A(2,0),P为圆上的动点.求线段AP中点

的轨迹方程.

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解析 设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x-2,2y).2 2 ∵P点在圆 x y 4 上，∴ 2 x 2 2 y 42 2

故线段AP中点的轨迹方程为 x 1 y 2 12

题型五 圆的方程的实际应用 【例5】(12分)在气象台A正西方向300千米处有一台风中心B,它以每 小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方 都要受其影响，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将 受台风影响？持续多长时间？

分析 几小时后气象台所在地受到台风影响，就是指以台风中心为 圆心的圆何时开始经过该城市，持续多长时间即为台风圆何时离开. 可建立直角坐标系，用变量t表示出B点坐标，进而求解.