弹性力学-2012-02

叶芝纶著 第四版

弹性力学武汉理工大学工程结构与力学系

翟鹏程pczhai@ pczhai@

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力学研究工程问题的一般思路观察 总结 归纳 概念 假设等 数学 描述 微分方程的 定解问题

工程问题

力学模型

数学模型解析解 近似解 数值解

指导工 程实践

工程解释验证

物理意义力学 解释

数学解答

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力学模型的建立 基本原则–科学性：尽可能地近似表示原型 –实用性：能方便地应用

模型的建立——近似–材料近似 –结构近似 –载荷近似 科技发展水平， 科技发展水平，受限于人类对 所有的力学模型均是实际问题 的某种程度上的近似， 的某种程度上的近似，受限于

模型的表述该问题科学本质的认识， 该问题科学本质的认识，也受 –假设 限于工程需求。 限于工程需求。 –概念3

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要解决问题： 强度、刚度、稳定性 必须知道： 应力(内力)、应变和位移 外因： 外力、温度变化等 水压力(分布面力) 重力(分布体积力)

内因： 材料、结构等4

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基本概念外力 内力 应力 位移 形变

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一、基本概念

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外力体力、 体力、面力 (材力：集中力、分布力。) 材力：集中力、分布力。) —— 弹性体内单位体积上所受的外力 弹性体内单位体积 单位体积上所受的外力—— 体力分布集度 矢量) (矢量)z

体力

Q F = lim V → 0 VF = Xi + Yj + Zk

Q VF P

X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 、 、 为体力矢量在坐标轴上的投影

k单位： 单位： N/m3 kN/m3

ix

O j

y

(1) F 是坐标的连续分布函数； 说明： 说明：(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等 如 重力，磁场力、惯性力等) 7 (3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。 、 、 的正负号由坐标方向确定。

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面力 —— 作用于物体表面单位面积上的外力 作用于物体表面单位面积 单位面积上的外力 Q —— 面力分布集度(矢量) 面力分布集度(矢量) F = lim S →0 S

F = Xi + Y j + Z k

z

Q SF P

X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影单位： 1N/m2 =1Pa (帕) 单位： 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)

k ix O j

y

(1) F 是坐标的连续分布函数； 说明： 说明： (2) F 的加载方式是任意的;

(3) X Y Z 的正负号由坐标方向确定。 的正负号由坐标方向确定。8

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内力·应力内力：外力作用下， 内力：外力作用下，物体内各质点间相互作用力 的变化量， 的变化量，即附加内力 应力： 应力：内力的分布集度

Az x O y

σs P

Q τ

Q Q lim A = A→0

s

s 即为该截面上P点的内力分布集度(应力) 点的内力分布集度( 点的内力分布集度 应力) 正应力： 正应力：应力在其作用截面法向的分量 剪应力

: 剪应力：应力在其作用截面切向的分量

9 单位： 单位： 1N/m2 =1Pa (帕) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)

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应力状态：在物体内的同一点P处，不同截面上的应力是不同 应力状态：在物体内的同一点 处的。必须确定该点各个截面上的应力大小和方向(应力状态)。 必须确定该点各个截面上的应力大小和方向(应力状态)。 面的定义： 外法线与x轴正向相同的面称为 轴正向相同的面称为+x面 面的定义： 外法线与 轴正向相同的面称为 面 外法线与x轴负向相同的面称为 面 外法线与 轴负向相同的面称为-x面 轴负向相同的面称为

z

σz x σy z τyx τyz τzx τxy

y τzy σx

正应力分量命名规则： 正应力分量命名规则：

τyz

σx、σy、σz 下标代表作用面剪应力分量命名规则： σy 剪应力分量命名规则： τij下标 i 代表作用面

O x

τxz τxz τyx τxy σx 下标 j 代表作用方向 τzx τzy 应力分量符号规定： 应力分量符号规定： y σz 正面上的分量以沿坐标轴正向为正10 负面上的分量以沿坐标轴负向为正

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剪应力互等σz x σy zO x

z

τyx τyz

τzx τxy

y τzy

假设各个面上的各个应力分 量的分布都是均匀的

b σx

τyz

忽略体力的影响 为轴， 为轴 σy 以ab为轴，列力矩平衡方程

τxz τxz a τ τyx σx xy τzx τzy y σz

1 1 τ yz x z y + τ yz x z y 2 2 1 1 τ zy x y z - τ zy x y z =0 2 2

τzx=τxz

τyx=τxy

τzy=τyz

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正负号规定的区别 规定的区别： 与材力中剪应力τ正负号规定的区别： 规定使得单元体顺时的剪应力 τ为正，反之为负。 为正，反之为负。

τ yx σ yσx σx

y

τ xy = τ yx在用应力莫尔圆时必须此规定求解问题 在用应力莫尔圆时必须此规定求解问题 应力莫尔圆

τ xyτ yx σ y

τ xy

x

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一点的应力状态

σx、σy、σz τxy、τyx、τyz、τzy、τzx、τxz剪应力互等

σx、σy、σz 、τyz、τzx、τxy13

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形变： 形变：形状的改变物体形状总可以用各部 分的长度 角度来表示 长度和 分的长度和角度来表示 物体的形变总可以归结 长度和角度的改变 为长度和角度的改变正应变：各线段单位长度的伸缩。 正应变：各线段单位长度的伸缩。

z

C

命名： 命名：εi,下标为线段的方向 符号： 符号：伸长为正

P B O A y x

剪应变：各线段之间直角的改变， 剪应变：各线段之间直角的改变， 以弧度计。 以弧度计。 命名： 命名：γij,下标为该直角 两个线段的方向 符号： 符号：直角减小为正14

εx εy εz γyz γzx γxy

应变无量纲

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位 移位移：位置的移动 用在三个坐标轴上的投影表示，分别记为u、 v、w(位移分量) (位移分量) 以沿坐标轴正向为正 单位：m

或 mm

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二、基本假设

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弹性力学基本假设 连续性假设 完全弹性假设 均匀性假设 各向同性假设 小位移和小形变假设 几何假设17

材料的假设

理想弹性体

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总

结

弹性力学： 弹性力学：研究理想弹性体的小变形问题弹性力学问题的提法： 弹性力学问题的提法： 已知：物体的形状、大小、弹性常数、 已知：物体的形状、大小、弹性常数、所受的外力 和边界约束条件， 和边界约束条件， 求：应力分量、应变分量和位移分量 应力分量、

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基本假设与其他理学分支 连续性假设： 连续性假设： 完全弹性假设：非线性弹性力学、非弹性力学 完全弹性假设：非线性弹性力学、 均匀性假设：非均质弹性力学 均匀性假设： 各向同性假设：各向异性弹性力学 各向同性假设： 小位移和小形变假设：非线性弹性力学 小位移和小形变假设：