第四章 4.3 4.3.1 & 4.3.2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式

1.空间直角坐标系 以空间中两两 垂直 且相交于一点O的三条直线分别为 定 义 x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz, 其中点O叫做坐标 原点 ，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴 .

通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面 ，分别称为xOy平面、yOz平面、 zOx 平面

画 在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使 法 ∠xOy= 135° ,∠yOz=90°

图

示本书建立的坐标系都是 右手 直角坐标系，即在空 间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向， 食指指向 y 轴的正方向，中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标 系

说 明

2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示， 有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐 标，记作M(x,y,z),其中x叫做点M的 横坐标 ，y叫做 点M的 纵坐标 ，z叫做点M的 竖坐标 .

3.空间直角坐标系中的两点间距离公式 空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的距离

|P1P2|=_ (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

.

1.在给定的空间直角坐标系下，空间中某一点是否有

唯一的实数组(x,y,z)与之对应？提示：是.在给定的空间直角坐标系下，空间中任意 一点都有唯一确定的实数组(x,y,z)与之对应；反过 来，给定实数组(x,y,z),在空间中也有唯一的点和 它对应.

2.空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴及xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标各有什么特点？ 提示： 点的位置 点的坐标形式

x轴上y轴上 z轴上 xOy平面上 yOz平面上

(a,0,0)(0,b,0) (0,0,c) (a,b,0) (0,b,c)

xOz平面上

(a,0,c)

3.空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的坐标与线 段P1P2的中点P0(x0,y0,z0)的坐标之间有什么关系？ x +x2 x0= 1 2 , y +y y0= 1 2, 提示： 2 z1+z2 z 0= 2 .

[例1]

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=4,

|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标 系. (1)求点A,B,C,D, A1,B1,C1,D1的坐标；

(2)求点N的坐标.

[自主解答]

(1)很明显A(0,0,0),

由于点B在x轴的正半轴上，且|OB|=4, 所以B(4,0,0). 同理可得D(0,3,0),A1(0,0,5). 由于点C在坐标平面xOy内，BC⊥AB,CD⊥AD, 则点C(4,3,0). 同理，可得B1(4,0,5),D1(0,3,5), 与C的坐标相比，点C1的坐标中只有竖坐标与其不同， CC1=AA1=5,则点C1(4,3,5).