高等数学公式总结

大学高等数学公式总结

高等数学公式

导数公式：

(tgx)′=sec2x(ctgx)′= cscx(secx)′=secx tgx(cscx)′= cscx ctgx(ax)′=axlna(logax)′=

1xlna

2

(arcsinx)′=

1

x2

1

(arccosx)′=

x21

(arctgx)′=

1+x2

1

(arcctgx)′=

1+x2

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

∫tgxdx= lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C

∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫cscxdx=lncscx ctgx+C

dx1x

=arctg+C∫a2+x2aadx1x a

=ln∫x2 a22ax+a+Cdx1a+x

=ln∫a2 x22aa x+Cdxx

=arcsin+C∫a2 x2

a

π2

π2

dx2

∫cos2x=∫secxdx=tgx+Cdx2

∫sin2x=∫cscxdx= ctgx+C∫secx tgxdx=secx+C

∫cscx ctgxdx= cscx+C

ax

∫adx=lna+C∫shxdx=chx+C

x

∫chxdx=shx+C∫

dxx2±a2

=ln(x+x2±a2)+C

In=∫sinnxdx=∫cosnxdx=

n 1

In 2n

∫∫∫

x2a22

x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C

22x2a2222

x adx=x a lnx+x2 a2+C

22x2a2x222

a xdx=a x+arcsin+C

22a

2

2

2u1 u2x2du

sinx=cosx=，　u=tgdx=

21+u21+u21+u2

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一些初等函数：两个重要极限：

ex e x

双曲正弦:shx=

2ex+e x

双曲余弦:chx=

2

shxex e x

双曲正切:thx==

chxex+e xarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x2 1)

11+x

arthx=ln

21 x

三角函数公式：·诱导公式：

角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+α

·和差角公式：

lim

sinx

=1

x→0x

1

lim(1+x=e=2.718281828459045...x→∞x

sin-sinαcosαcosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinα

coscosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαcosαcosα

tg-tgαctgα-ctgα-tgαtgαctgα-ctgα-tgαtgα

ctg-ctgαtgα-tgα-ctgαctgαtgα-tgα-ctgαctgα

·和差化积公式：

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ

tgα±tgβ

tg(α±β)=

1 tgα tgβctgα ctgβ 1

ctg(α±β)=

ctgβ±ctgα

α+βα β

cos22α+βα β

sinα sinβ=2cossin

22α+βα β

cosα+cosβ=2coscos

22α+βα β

cosα cosβ=2sinsin

22sinα+sinβ=2sin

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·倍角公式：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=2cos2α 1=1 2sin2α=cos2α sin2α

sin3α=3sinα 4sin3αcos3α=4cos3α 3cosα3tgα tg3αtg3α=

1 3tg2α

ctg2α 1

ctg2α=

2ctgα2tgα

tg2α=

1 tg2α

·半角公式：

sin

α cosαα1+cosα=±　　　　　　　　　　　　cos=±2222

tg

α cosα1 cosαsinαα1+cosα1+cosαsinα=±==　　ctg=±==21+cosαsinα1+cosα21 cosαsinα1 cosα

abc

===2RsinAsinBsinC

222

·余弦定理：c=a+b 2abcosC

·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx=

ππ

arccosx　　　arctgx= arcctgx22

——莱布尼兹（Leibniz）公式：高阶导数公式高阶导数公式————莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：

(uv)

(n)

=∑Cnku(n k)v(k)

k=0

n

=u(n)v+nu(n 1)v′+

n(n 1)(n 2)n(n 1) (n k+1)(n k)(k)uv′′+ +uv+ +uv(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b) f(a)=f′(ξ)(b a)f(b) f(a)f′(ξ)

=

F(b) F(a)F′(ξ)当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

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弧微分公式：ds=+y′2dx,其中y′=tgα=

α

α:从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量； s：MM′弧长。 s

y′′ αdα

M点的曲率：K=lim==.

23 s→0 sds(1+y′)

1

.a

直线：K=0;半径为a的圆：K=

定积分的近似计算：

b

矩形法：∫f(x)≈

ab

b a

(y0+y1+ +yn 1)n

b a1

(y0+yn)+y1+ +yn 1]n2

b a

y0+yn)+2(y2+y4+ +yn 2)+4(y1+y3+ +yn 1)]3n

梯形法：∫f(x)≈

a

b

抛物线法：∫f(x)≈

a

定积分应用相关公式：

功：W=F s

水压力：F=p A

mm

引力：F=k122,k为引力系数

r

b1

函数的平均值：y=f(x)dx

b a∫a12

f(t)dt∫b aa

空间解析几何和向量代数：

b

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空间2点的距离：d=M1M2=(x2 x1)2+(y2 y1)2+(z2 z1)2向量在轴上的投影：Prjucos , 是u轴的夹角。

Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2

a b=a bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosθ=

axbx+ayby+azbz

ax+ay+az bx+by+bz

2

2

2

2

2

2

i

c=a×b=ax

bxjaybyk

az,c=a bsinθ.例：线速度：v=w×r.bz

aybycy

az

bz=a×b ccosα,α为锐角时，cz

ax

向量的混合积：[abc]=(a×b) c=bx

cx代表平行六面体的体积。

1、点法式：A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0，其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0

xyz

3++=1

abc平面外任意一点到该平面的距离：d=

平面的方程：

Ax0+By0+Cz0+D

A2+B2+C2

x=x0+mt

x xy y0z z0

0===t,其中s={m,n,p};参数方程： y=y0+nt

mnp z=z+pt

0

二次曲面：

x2y2z2

12+2+2=1

abcx2y2

2+=z（,p,q同号）

2p2q

3、双曲面：

x2y2z2

2+2 2=1

abcx2y2z2

2 2+2=（马鞍面）1

abc

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多元函数微分法及应用

全微分：dz=

z z u u udx+dy　　　du=dx+dy+dz x y x y z

全微分的近似计算： z≈dz=fx(x,y) x+fy(x,y) y多元复合函数的求导法：

dz z u z v

z=f[u(t),v(t)]= + 　

dt u t v t

z z u z v

z=f[u(x,y),v(x,y)]= +

x u x v x

当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，

u u v v

du=dx+dy　　　dv=dx+dy　

x y x y隐函数的求导公式：

FxFFdydyd2y

隐函数F(x,y)=0= 2=( x＋( x)

dxFy xFy yFydxdxFyF z z

隐函数F(x,y,z)=0= x=

xFz yFz

F F(x,y,u,v)=0 (F,G) u

隐函数方程组：　　　J== GG(x,y,u,v)=0 (u,v)

u

u1 (F,G) v1 (F,G)= = xJ (x,v) xJ (u,x) u1 (F,G) v1 (F,G)= = yJ (y,v) yJ (u,y)

微分法在几何上的应用：

F

v=Fu GGu v

FvGv

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x= (t)

x xy y0z z0

空间曲线 y=ψ(t)在点M(x0,y0,z0)0==

′′ (t0)ψ(t0)ω′(t0) z=ω(t)

在点M处的法平面方程： ′(t0)(x x0)+ψ′(t0)(y y0)+ω′(t0)(z z0)=0 FyFzFzFxFx F(x,y,z)=0

若空间曲线方程为：,则切向量T={,,

GyGzGzGxGx G(x,y,z)=0

曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：

1、过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

Fy

Gy

2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x x0)+Fy(x0,y0,z0)(y y0)+Fz(x0,y0,z0)(z z0)=0

x x0y y0z z0

3==

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

方向导数与梯度：

f f f

函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l=cos +sin

l x y其中 为x轴到方向l的转角。

f f

函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+j

x y

f

它与方向导数的关系是=gradf(x,y) e，其中e=cos i+sin j，为l方向上的

l

单位向量。 f

∴是gradf(x,y)在l上的投影。 l

多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,　fxy(x0,y0)=B,　fyy(x0,y0)=C A<0,(x0,y0)为极大值2

AC B>0时，

A>0,(x0,y0)为极小值 2

则： AC B<0时，　　　　　　无极值

AC B2=0时,　　　　　　　不确定 重积分及其应用：

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∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

D

D′

曲面z=f(x,y)的面积A=∫∫

D

z z

1+ + dxdy

x y

2

2

平面薄片的重心：=

Mx

=M

∫∫xρ(x,y)dσ

D

∫∫ρ(x,y)dσ

D

D

,　　=

MyM

=

∫∫yρ(x,y)dσ

D

∫∫ρ(x,y)dσ

D

D

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=∫∫y2ρ(x,y)dσ,　　对于y轴Iy=∫∫x2ρ(x,y)dσ平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F={Fx,Fy,Fz}，其中：

Fx=f∫∫

D

ρ(x,y)xdσ

2

2

2

(x+y+a)2

Fy=f∫∫3

D

ρ(x,y)ydσ(x+y+a)

2

2

22

Fz= fa∫∫3

D

ρ(x,y)xdσ(x+y+a)

2

2

2

3

2

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosθ

柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,θ,z)rdrdθdz, y=rsinθ,　　　∫∫∫ z=z

其中：F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)

x=rsin cosθ 2

球面坐标： y=rsin sinθ，　　dv=rd rsin dθ dr=rsin drd dθ

z=rcos

2π

2

πr( ,θ)

2

F(r, ,θ)rsin dr∫0

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r, ,θ)rsin drd dθ=∫dθ∫d

重心：=

1

M

∫∫∫xρdv,　　=

1M

∫∫∫yρdv,　　=

1M

∫∫∫zρdv，　　其中M==∫∫∫ρdv

转动惯量：Ix=∫∫∫(y2+z2)ρdv，　　Iy=∫∫∫(x2+z2)ρdv，　　Iz=∫∫∫(x2+y2)ρdv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

x= (t)

设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(α≤t≤β),则：

y=ψ(t)

∫

L

x=t22

′′f(x,y)ds=∫f[ (t),ψ(t)](t)+ψ(t)dt　　(α<β)　　特殊情况：

y= (t)α

β

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第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为

标的曲线积分）：

x= (t)

，则：

y=ψ(t)

β

∫P(x,y)dx

L

+Q(x,y)dy=

α

∫{P[ (t),ψ

L

(t)] ′(t)+Q[ (t),ψ(t)]ψ′(t)}dt

两类曲线积分之间的关

系：∫Pdx+Qdy=∫(Pcos

L

α+Qcosβ)ds，其中α和β分别为

L上积分起止点处切向量的方向角。

Q P

格林公式：∫∫( dxdy=Pdx+Qdy格林公式：

x yDL当P= y,Q=x，即：·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在

注意方向相反！：

，且

Q P

=2时，得到 x y

无关的条件：

∫∫( x

D

Q

P

dxdy= y

=12

Pdx

L

+Qdy

D的面积：A=

∫∫dxdy

D

xdy

L

ydx

Q P

x y

(0,0)，应

Q P

时，Pdx+Qdy才是二元函数 x y

(x,y)

u(x,y)的全微分，其中：x0=y0=0。

u(x,y)=

(x0,y0)

∫P(x,y)dx

+Q(x,y)dy，通常设

曲面积分：

对面积的曲面积分：∫∫f(x,y,z)ds=

∑

Dxy

∫∫f[x,y,z(x,y)]

2

+zx(x,y)+z2y(x,y)dxdy

对坐标的曲面积分：∫∫P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：

∑

∫∫R(x,y,z)dxdy

∑

=±∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；

Dxy

∫∫P(x,y,z)dydz

∑∑

=±∫∫P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；

Dyz

∫∫Q(x,y,z)dzdx=±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正

Dzx

号。

两类曲面积分之间的关系：∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=

∑

∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds

∑

高斯公式：

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∫∫∫(

P Q R++)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds x y z∑∑

高斯公式的物理意义——通量与散度：

P Q R

散度：divν=++,即：单位体积内所产生的流体质量，若divν<0,则为消失...

x y z

通量：A∫∫ nds=∫∫Ands=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds， 因此，高斯公式又可写成：divA∫∫∫dv=Ands

∑

∑

∑

∑

——曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式斯托克斯公式————曲线积分与曲面积分的关系：

∫∫(

∑

R Q P R Q P

)dydz+( )dzdx+( )dxdy=Pdx+Qdy+Rdz y z z x x yΓ

dydz

上式左端又可写成：∫∫ x∑

Pdzdx yQdxdycosα

=∫∫ z x∑RPcosβ

yQcosγ zR

R Q P R Q P

空间曲线积分与路径无===

y z z x x yijk

旋度：rotA=

x y zPQR

向量场A沿有向闭曲线ΓPdx+Qdy+Rdz=A tds

Γ

Γ

常数项级数：

1 qn等比数列：1+q+q+ +q=

1 q(n+1)n

等差数列：1+2+3+ +n=

2

111

调和级数：1+++ +是发散的

23n

2

n 1

级数审敛法：

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1、正项级数的审敛法

——根植审敛法（柯西判

别法）：

ρ<1时，级数收敛

设：ρ=limn，则 ρ>1时，级数发散

n→∞

ρ=1时，不确定

2、比值审敛法：

ρ<1时，级数收敛

Un+1

设：ρ=lim，则 ρ>1时，级数发散

n→∞Un ρ=1时，不确定

3、定义法：

sn=u1+u2+ +un;limsn存在，则收敛；否则发

n→∞

散。

交错级数u1 u2+u3 u4+ (或 u1+u2 u3+ ,un>0)的审敛法——莱布尼兹定理： un≥un+1

如果交错级数满足 ，那么级数收敛且其和s≤u1,其余项rn的绝对值rn≤un+1。

limu=0 n→∞n

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1+u2+ +un+ ，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+ +un+

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1( 1)n

调和级数：∑n发散，而∑n1

　　级数：∑n2收敛；

≤１时发散1

　　p级数：∑npp>1时收敛

幂级数：

1+x+x2+x3+ +xn+ x<1时，收敛于x≥1时，发散

1

1 x

对于级数(3)a0+a1x　+a2x2+ +anxn+ ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

x<R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使

x>R时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定

ρ≠0时，R=

1

ρ

求收敛半径的方法：设lim

n→∞

an+1

=ρ，其中an，an+1是(3)的系数，则an

ρ=0时，R=+∞ρ=+∞时，R=0

函数展开成幂级数：

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函数展开成泰勒级数：

f′′(x0)f(n)(x0)2

f(x)=f(x0)(x x0)+(x x0)+ +(x x0)n+

2!n!

充要条件是：limRn=0

n→∞

f(n+1)(ξ)

余项：Rn=(x x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的

(n+1)!x0=0时即为麦克劳林公式：

一些函数展开成幂级数：

f′′(0)2f(n)(0)n

f(x)=f(0)+f′(0)x+x+ +x+

2!n!

m(m 1)2m(m 1) (m n+1)n

x+ +x+ 　　　( 1<x<1)2!n!

x3x5x2n 1n 1

sinx=x + +( 1)+ 　　　( ∞<x<+∞)

3!5!(2n 1)!(1+x)m=1+mx+

欧拉公式：

eix+e ix

cosx= 2=cosx+isinx　　　或 ix ix sinx=e e 2

∞

eix

三角级数：

∞

a0

f(t)=A0+∑Ansin(nωt+ n)=+∑(ancosnx+bnsinnx)

2n=1n=1

其中，a0=aA0，an=Ansin n，bn=Ancos n，ωt=x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积上的积分＝0。

在[ π,π]

傅立叶级数：

f(x)=

a0

+2

∑(a

n=1π π

∞

n

cosnx+bnsinnx)，周期

=2π

1 an=

π

其中

b=1 nπ

∫

f(x)cosnxdx　　　(n=0,1,2 )f(x)sinnxdx　　　(n=1,2,3 )

111π2

1+2+2+2+ =2346111π2

1 2+2 2+ =12234

π

π

π

∫

11π2

1+2+2+ =

358　111π2

+2+2+ =

242246正弦级数：余弦级数：

2

an=0，bn=

π2

bn=0，an=

π

∫

f(x)sinnxdx　　n=1,2,3 　f(x)=f(x)cosnxdx　　n=0,1,2 　f(x)=

∑b

n

sinnx是奇函数

π

∫

a0

+2

∑a

n

cosnx是偶函数

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

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f(x)=

a0

+2

∑(a

n=1

∞

n

cos

nπxnπx

+bnsin)，周期=2lll

l

1nπx

dx　　　(n=0,1,2 ) an=∫f(x)cos

ll l

其中 l

b=1f(x)sinnπxdx　　　(n=1,2,3 ) nl∫l l

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y′=f(x,y)　或　P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程

：一阶微分方程可以化

为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：

∫g(y)dy=∫

f(x)dx　　得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。

程可以写成

dyy=f(x,y)= (x,y)，即写成dxx

ydydududxduy

设u==u+xu+= (u)，∴=分离变量，积分后将代替u，

xdxdxdxx (u) ux

即得齐次方程通解。齐次方程：一阶微分方

一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程：

dy

+P(x)y=Q(x)dx

P(x)dx

当Q(x)=0时,为齐次方程，y=Ce∫当Q(x)≠0时，为非齐次方程，

y=(∫Q(x)e∫

P(x)dx

P(x)dx

dx+C)e∫

2、贝努力方程：

dy

+P(x)y=Q(x)yn，(n≠0,1)dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微

分方程，即：

u u

=P(x,y)=Q(x,y) x y

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中：∴u(x,y)=C应该是该全微分方程的

通解。

二阶微分方程：

f(x)≡0时为齐次d2ydy

+P(x)+Q(x)y=f(x)dxdx2f(x)≠0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y′′+py′+qy=0，其中p,q为常数；求解步骤：

1、写出特征方程：( )r2+pr+q=0，其中r2，r的系数及常数项恰好是2、求出( )式的两个根r1,r2

(*)式中y′′,y′,y的系数；

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r1，r2的形式

两个不相等实根(p2 4q>0)

(*)式的通解

y=c1er1x+c2er2x

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两个相等实根(p 4q=0)一对共轭复根(p2 4q<0)

2

y=(c1+c2x)er1x

y=eαx(c1cosβx+c2sinβx)

r1=α+iβ，r2=α iβ4q p2p

α= β=

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二阶常系数非齐次线性微分方程

y′′+py′+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=eλxPm(x)型，λ为常数；f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型